Verdadeiro ou falso. Justifique a sua resposta.
Seja P o espaço vetorial de TODOS os pollinômios. 1, x, x^2, ldots, x^n é uma base de P.

Passo 1

O enunciado pergunta se o conjunto 1,x,x^2,dots,x^n é base de P, onde P é o espaço vetorial de todos os polinômios em uma variável. O conteúdo envolvido é a definição de base e o fato de que P é de dimensão infinita.

Passo 2

Por definição, um conjunto é base de um espaço vetorial se e somente se ele satisfaz duas propriedades:
1. Geração: toda forma de vetor (aqui, qualquer polinômio) pode ser escrita como combinação linear dos vetores da base.
2. Independência linear: se uma combinação linear dos vetores da base dá o vetor zero, então todos os coeficientes dessa combinação devem ser zero.

Passo 3

Verificação de independência linear: suponha que
c0cdot1 + c1,x + cdots + cn,x^n = 0
seja o polinômio identicamente nulo. Então todos os coeficientes c0,c1,dots,cn devem ser zero (pois um polinômio de grau <= n só é identicamente nulo se seus coeficientes são todos zero). Logo 1,x,dots,x^n é linearmente independente.

Passo 4

Verificação de geração: esse conjunto só gera polinômios de grau no máximo n. Por exemplo, o polinômio x^n+1 não pode ser escrito como combinação linear de 1,x,dots,x^n. Como P contém polinômios de grau arbitrariamente alto, o conjunto não gera todo P.

Resposta

Falso. O conjunto 1,x,dots,x^n é linearmente independente, mas não gera polinômios de grau maior que n, portanto não é base de P.

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