Verdadeiro ou falso. Justifique a sua resposta.
Seja
o espaço vetorial de TODOS os pollinômios.
é uma base de
.
Seja
Passo 1
O enunciado pergunta se o conjunto
é base de
, onde
é o espaço vetorial de todos os polinômios em uma variável. O conteúdo envolvido é a definição de base e o fato de que
é de dimensão infinita.
Passo 2
Por definição, um conjunto é base de um espaço vetorial se e somente se ele satisfaz duas propriedades:
. Geração: toda forma de vetor (aqui, qualquer polinômio) pode ser escrita como combinação linear dos vetores da base.
. Independência linear: se uma combinação linear dos vetores da base dá o vetor zero, então todos os coeficientes dessa combinação devem ser zero.
Passo 3
Verificação de independência linear: suponha que
seja o polinômio identicamente nulo. Então todos os coeficientes
devem ser zero (pois um polinômio de grau
só é identicamente nulo se seus coeficientes são todos zero). Logo
é linearmente independente.
Passo 4
Verificação de geração: esse conjunto só gera polinômios de grau no máximo
. Por exemplo, o polinômio
não pode ser escrito como combinação linear de
. Como
contém polinômios de grau arbitrariamente alto, o conjunto não gera todo
.
Resposta
Falso. O conjunto
é linearmente independente, mas não gera polinômios de grau maior que
, portanto não é base de
.