Encontre a dimensão dos seguintes espaços vetoriais:
\mathbb{R}^{6}

Passo 1

O enunciado é direto: pede para encontrar a dimensão do espaço vetorial \mathbb{R}^{6}.
Informações dadas:
  • O espaço em questão é \mathbb{R}^{6}, isto é, o conjunto de todas as tuplas (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6}) com x_{i}\in\mathbb{R}.
  • A pergunta específica: “Qual é a dimensão de \mathbb{R}^{6}?”

Passo 2

O que significa “dimensão” de um espaço vetorial (explicação didática):
  • A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em qualquer base do espaço.
  • Uma base é um conjunto de vetores que satisfaz duas propriedades importantes:
    1. Geram o espaço (ou seja, todo vetor do espaço pode ser escrito como combinação linear desses vetores).
    2. São linearmente independentes (nenhum deles pode ser escrito como combinação linear dos outros).
  • Assim, para achar a dimensão, basta achar uma base e contar quantos vetores tem essa base.

Passo 3

Apresentando uma base natural de \mathbb{R}^{6}:
  • Considere os vetores coluna unitários (vetores canônicos)
e_{1}=(1,0,0,0,0,0),\quad e_{2}=(0,1,0,0,0,0),\quad e_{3}=(0,0,1,0,0,0),
e_{4}=(0,0,0,1,0,0),\quad e_{5}=(0,0,0,0,1,0),\quad e_{6}=(0,0,0,0,0,1).
  • Vou mostrar por que \{e_{1},\dots,e_{6}\} é uma base.

Passo 4

Provar que os e_{i} geram \mathbb{R}^{6}:
  • Qualquer vetor arbitrário de \mathbb{R}^{6} tem a forma (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6}).
  • Esse vetor pode ser escrito como combinação linear
(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6}) = x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+x_{3}e_{3}+x_{4}e_{4}+x_{5}e_{5}+x_{6}e_{6}.
  • Portanto os e_{i} geram todo \mathbb{R}^{6}.

Passo 5

Provar que os e_{i} são linearmente independentes:
  • Suponha que haja escalares a_{1},\dots,a_{6} tais que
a_{1}e_{1}+a_{2}e_{2}+a_{3}e_{3}+a_{4}e_{4}+a_{5}e_{5}+a_{6}e_{6}= (0,0,0,0,0,0).
  • Escrevendo coordenada a coordenada, obtemos o sistema
(a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5},a_{6})=(0,0,0,0,0,0).
  • Logo a_{1}=\cdots=a_{6}=0. Isso mostra independência linear.

Passo 6

Concluir a dimensão a partir da base:
  • Como \{e_{1},\dots,e_{6}\} é uma base e contém exatamente 6 vetores, a dimensão de \mathbb{R}^{6} é 6.
  • Uma observação útil para prova rápida e intuição: não é possível ter mais de 6 vetores linearmente independentes em \mathbb{R}^{6}, porque as combinações lineares produzem um sistema de 6 equações; se houver mais de 6 incógnitas (coeficientes), sempre existe uma solução não-trivial para a combinação linear igual a zero — o que prova que conjuntos com mais de 6 vetores são linearmente dependentes. Isso garante que qualquer base deve ter no máximo 6 vetores; como já existe uma base com 6, todas as bases têm exatamente 6.

Resposta

\;6

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