Encontre a dimensão dos seguintes espaços vetoriais:
Passo 1
O enunciado é direto: pede para encontrar a dimensão do espaço vetorial
.
Informações dadas:
- O espaço em questão é
, isto é, o conjunto de todas as tuplas com . - A pergunta específica: “Qual é a dimensão de
?”
Passo 2
O que significa “dimensão” de um espaço vetorial (explicação didática):
- A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em qualquer base do espaço.
- Uma base é um conjunto de vetores que satisfaz duas propriedades importantes:
- Geram o espaço (ou seja, todo vetor do espaço pode ser escrito como combinação linear desses vetores).
- São linearmente independentes (nenhum deles pode ser escrito como combinação linear dos outros).
- Assim, para achar a dimensão, basta achar uma base e contar quantos vetores tem essa base.
Passo 3
Apresentando uma base natural de
:
- Considere os vetores coluna unitários (vetores canônicos)
- Vou mostrar por que
é uma base.
Passo 4
Provar que os
geram
:
- Qualquer vetor arbitrário de
tem a forma . - Esse vetor pode ser escrito como combinação linear
- Portanto os
geram todo .
Passo 5
Provar que os
são linearmente independentes:
- Suponha que haja escalares
tais que
- Escrevendo coordenada a coordenada, obtemos o sistema
- Logo
. Isso mostra independência linear.
Passo 6
Concluir a dimensão a partir da base:
- Como
é uma base e contém exatamente vetores, a dimensão de é . - Uma observação útil para prova rápida e intuição: não é possível ter mais de
vetores linearmente independentes em , porque as combinações lineares produzem um sistema de equações; se houver mais de incógnitas (coeficientes), sempre existe uma solução não-trivial para a combinação linear igual a zero — o que prova que conjuntos com mais de vetores são linearmente dependentes. Isso garante que qualquer base deve ter no máximo vetores; como já existe uma base com , todas as bases têm exatamente .