Encontre a dimensão do subespaço de , gerado pelos vetores dados: .
Passo 1
No enunciado, temos o espaço vetorial (polinômios de grau até 3) e o subconjunto gerador . O objetivo é achar a dimensão do subespaço gerado por esses polinômios usando independência linear e dimensão de subespaços.
Passo 2
Vamos usar a base canônica de e expressar cada polinômio como vetor de coordenadas:
Passo 3
Para testar independência linear, consideramos a combinação
Isso gera o sistema de coeficientes:
Da terceira equação vem c=0. Substituindo na primeira obtemos b=0, e então da segunda a=0.
Passo 4
Como a única solução é a=b=c=0, os três polinômios são linearmente independentes. Logo, a dimensão do subespaço que eles geram é o número de vetores independentes, isto é, 3.