Encontre a dimensão do subespaço de P3, gerado pelos vetores dados: .

Passo 1

No enunciado, temos o espaço vetorial P3 (polinômios de grau até 3) e o subconjunto gerador S=x,,-1+x,,1+x^2. O objetivo é achar a dimensão do subespaço gerado por esses polinômios usando independência linear e dimensão de subespaços.

Passo 2

Vamos usar a base canônica 1,x,x^2,x^3 de P3 e expressar cada polinômio como vetor de coordenadas:
p1=xsim(0,1,0,0), p2=-1+xsim(-1,1,0,0), p3=1+x^2sim(1,0,1,0)

Passo 3

Para testar independência linear, consideramos a combinação
a,p1 + b,p2 + c,p3 = 0(polinômio nulo) ô
Isso gera o sistema de coeficientes:
constante:& -b + c = 0, coeficiente de x:& a + b = 0, coeficiente de x^2:& c = 0
Da terceira equação vem c=0. Substituindo na primeira obtemos b=0, e então da segunda a=0.

Passo 4

Como a única solução é a=b=c=0, os três polinômios são linearmente independentes. Logo, a dimensão do subespaço que eles geram é o número de vetores independentes, isto é, 3.

Resposta

3

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