Verifique se os conjuntos dados, com as operações dadas formam um espaço vetorial sobre os reais. Justifique a sua resposta e, em caso positivo, exiba uma base e a dimensão:
O conjunto da matrizes M2 times 2, com a soma usual e a multiplicação dada por:
m. lla & b c & d

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto M_{2×2} de matrizes 2×2, com a soma usual e a multiplicação por escalar definida por
$$
m \cdot m cdot a & b c & d = m a & m b 2 & 1

$$
forma um espaço vetorial sobre ℝ.

Passo 2

Um dos axiomas de espaço vetorial exige que para todo vetor v seja válida a igualdade 0·v = 0 (onde 0 à esquerda é o escalar e 0 à direita é o vetor zero).

Passo 3

Vamos calcular 0·v para v = a & b c & d:
$$
0 \cdot 0 cdot a & b c & d = 0cdot a & 0cdot b 2 & 1 = 0 & 0 2 & 1

0 & 0 0 & 0

.
$$
Este resultado não é o vetor zero (que seria ).

Passo 4

Como o escalar zero não leva todo vetor ao vetor zero, a estrutura falha em satisfazer esse axioma fundamental, portanto não é um espaço vetorial.

Resposta

O conjunto não é um espaço vetorial sobre ℝ.

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