Verifique se os conjuntos dados, com as operações dadas formam um espaço vetorial sobre os reais. Justifique a sua resposta e, em caso positivo, exiba uma base e a dimensão:
O conjunto da matrizes , com a soma usual e a multiplicação dada por:
m.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto M_{2×2} de matrizes 2×2, com a soma usual e a multiplicação por escalar definida por
$$
m \cdot
$$
forma um espaço vetorial sobre ℝ.
Passo 2
Um dos axiomas de espaço vetorial exige que para todo vetor v seja válida a igualdade 0·v = 0 (onde 0 à esquerda é o escalar e 0 à direita é o vetor zero).
Passo 3
Vamos calcular 0·v para v = a & b c & d:
$$
0 \cdot 0 cdot a & b c & d = 0cdot a & 0cdot b 2 & 1 = 0 & 0 2 & 1
0 & 0 0 & 0
.
$$
Este resultado não é o vetor zero (que seria ).
Passo 4
Como o escalar zero não leva todo vetor ao vetor zero, a estrutura falha em satisfazer esse axioma fundamental, portanto não é um espaço vetorial.