Seja V um C-espaço vetorial. Se o polinômio característico de uma transformação linear T: V V é x^2-x-1, então é correto afirmar que:
a T não é necessariamente inversível.
b T é inversível e T^-1=T+I.
c Não existe T com tal polinômio característico.
d T é inversível e T^-1=T-I.
e T é inversível, mas nenhuma das fórmulas para a inversa de T nos outros itens é válida.

Passo 1

O enunciado diz que temos um operador linear T num C-espaço V com polinômio característico x^2 − x − 1. Vamos usar conceitos de invertibilidade e o teorema de Cayley–Hamilton para achar T^{-1}.

Passo 2

Como 0 não é raiz do polinômio x^2 − x − 1 (as raízes são (1±√5)/2 ≠ 0), concluímos que T é invertível, pois o determinante de T (que é o produto das raízes) também não é zero.

Passo 3

Pelo teorema de Cayley–Hamilton, T satisfaz seu próprio polinômio característico, ou seja:
T^2 - T - I = 0
Reorganizando essa equação temos T(T - I) = I. Como T é invertível, podemos multiplicar à direita por T^{-1} e obter:
T - I = T^-1

Passo 4

Portanto, T^{-1} é dado por T - I.

Resposta

T é inversível e T^{-1} = T - I (alternativa d).

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