Seja
um
-espaço vetorial. Se o polinômio característico de uma transformação linear
é
, então é correto afirmar que:
a
não é necessariamente inversível.
b
é inversível e
.
c Não existe
com tal polinômio característico.
d
é inversível e
.
e
é inversível, mas nenhuma das fórmulas para a inversa de
nos outros itens é válida.
a
b
c Não existe
d
e
Passo 1
O enunciado diz que temos um operador linear T num C-espaço V com polinômio característico x^2 − x − 1. Vamos usar conceitos de invertibilidade e o teorema de Cayley–Hamilton para achar T^{-1}.
Passo 2
Como 0 não é raiz do polinômio x^2 − x − 1 (as raízes são (1±√5)/2 ≠ 0), concluímos que T é invertível, pois o determinante de T (que é o produto das raízes) também não é zero.
Passo 3
Pelo teorema de Cayley–Hamilton, T satisfaz seu próprio polinômio característico, ou seja:
Reorganizando essa equação temos T(T - I) = I. Como T é invertível, podemos multiplicar à direita por T^{-1} e obter:
Passo 4
Portanto, T^{-1} é dado por T - I.
Resposta
T é inversível e T^{-1} = T - I (alternativa d).