Seja pi: V V um operador projeção não trivial (i.e., pi neq 0L(V) e pi neq IV ) mostre que mpi=x^2-x.

Passo 1

Vamos entender o enunciado: temos um operador linear pi:Vto V que é projeção não trivial (ou seja, pi^2=pi, mas pineq0 e pineq I). O conteúdo aqui é polinômio minimal de um operador linear e as propriedades de projeção que vamos usar para determinar esse polinômio.

Passo 2

Lembremos da definição de projeção: um operador pi é projeção se ele satisfaz pi^2=pi. Isso significa que pi é idempotente.
Da idempotência segue facilmente que pi anula o polinômio p(x)=x^2-x. Em outras palavras,
p(pi)=pi^2-pi=0V
Isso mostra que o polinômio minimal mpi(x) divide x^2-x=x(x-1).

Passo 3

Agora precisamos verificar que ambos os fatores x e x-1 aparecem de fato em mpi(x). Como pineq0, o núcleo de pi não é todo V, então o espaço imagem é não trivial: existe vneq0 em Im(pi) tal que
pi(v)=v,
logo 1 é valor próprio de pi. E como pineq I, a imagem não é o espaço inteiro, então o núcleo é não trivial: existe uneq0 em ker(pi) com
pi(u)=0,
portanto 0 é valor próprio de pi.

Passo 4

Como o polinômio minimal de pi deve ser monico, dividir x(x-1) e conter ambas as raízes 0 e 1, concluímos que ele é exatamente
mpi(x)=x(x-1)=x^2-x

Resposta

m_\pi(x)=x^2-x

Exercícios relacionados