Seja
um operador projeção não trivial (i.e.,
e
) mostre que
.
Passo 1
Vamos entender o enunciado: temos um operador linear
que é projeção não trivial (ou seja,
, mas
e
). O conteúdo aqui é polinômio minimal de um operador linear e as propriedades de projeção que vamos usar para determinar esse polinômio.
Passo 2
Lembremos da definição de projeção: um operador
é projeção se ele satisfaz
. Isso significa que
é idempotente.
Da idempotência segue facilmente que anula o polinômio
. Em outras palavras,
Da idempotência segue facilmente que
Isso mostra que o polinômio minimal
divide
.
Passo 3
Agora precisamos verificar que ambos os fatores
e
aparecem de fato em
. Como
, o núcleo de
não é todo
, então o espaço imagem é não trivial: existe
em
tal que
logo 1 é valor próprio de
. E como
, a imagem não é o espaço inteiro, então o núcleo é não trivial: existe
em
com
portanto 0 é valor próprio de
.
Passo 4
Como o polinômio minimal de
deve ser monico, dividir
e conter ambas as raízes 0 e 1, concluímos que ele é exatamente
Resposta
m_\pi(x)=x^2-x