1. Encontre os pontos da superfície x y z=1 que estão mais próximos da origem. Há algum ponto que esteja mais afastado da origem?

Passo 1

O enunciado pede para achar os pontos da superfície definida por xyz=1 que estão mais próximos da origem e verificar se existe algum ponto mais afastado. O conteúdo principal aqui é otimização com restrição, usando multiplicadores de Lagrange, e vamos precisar escrever a função distância ao quadrado e impor a restrição xyz=1.

Passo 2

Definimos a função a ser minimizada como a distância ao quadrado da origem:
g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2
e a restrição
f(x,y,z)=xyz-1=0

Passo 3

Pelo método de Lagrange, temos
nabla g=lambda,nabla f
o que dá o sistema:
2x=lambda,yz,
2y=lambda,xz,
2z=lambda,xy,
xyz=1

Passo 4

Dividindo a primeira equação pela segunda, obtemos
2x2y=yzxz
o que leva a x^2=y^2. De modo análogo, comparando outras, concluímos que
|x|=|y|=|z|

Passo 5

Como |x|=|y|=|z|=a, a restrição xyz=1 vira pm a^3=1. Como a>0, temos a^3=1 e portanto a=1. O sinal deve ser tal que o produto seja positivo, logo o número de componentes negativas é par.

Passo 6

Isso dá exatamente quatro soluções:
(1,1,1),
(1,-1,-1),
(-1,1,-1),
(-1,-1,1)
A distância comum a esses pontos é
raiz1^2+1^2+1^2=raiz3

Passo 7

Para ver se existe ponto mais afastado, percebemos que na superfície xyz=1 podemos fazer, por exemplo, xto+infty, yto+infty e ajustar z=1/(xy) muito pequeno, e ainda assim a distância raizx^2+y^2+z^2 cresce sem limite. Logo, não há ponto de distância máxima.

Passo 8

Os pontos mais próximos da origem são (1,1,1), (1,-1,-1), (-1,1,-1) e (-1,-1,1) à distância raiz3. Não existe ponto mais afastado da origem nessa superfície devido à não-limitude da mesma.

Resposta

Os pontos mais próximos são (1,1,1), (1,-1,-1), (-1,1,-1) e (-1,-1,1), todos à distância raiz3 da origem. Não há ponto mais afastado.

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