- Encontre os pontos da superfície
que estão mais próximos da origem. Há algum ponto que esteja mais afastado da origem?
Passo 1
O enunciado pede para achar os pontos da superfície definida por
que estão mais próximos da origem e verificar se existe algum ponto mais afastado. O conteúdo principal aqui é otimização com restrição, usando multiplicadores de Lagrange, e vamos precisar escrever a função distância ao quadrado e impor a restrição
.
Passo 2
Definimos a função a ser minimizada como a distância ao quadrado da origem:
e a restrição
Passo 3
Pelo método de Lagrange, temos
o que dá o sistema:
Passo 4
Dividindo a primeira equação pela segunda, obtemos
o que leva a
. De modo análogo, comparando outras, concluímos que
Passo 5
Como
, a restrição
vira
. Como
, temos
e portanto
. O sinal deve ser tal que o produto seja positivo, logo o número de componentes negativas é par.
Passo 6
Isso dá exatamente quatro soluções:
A distância comum a esses pontos é
Passo 7
Para ver se existe ponto mais afastado, percebemos que na superfície
podemos fazer, por exemplo,
,
e ajustar
muito pequeno, e ainda assim a distância
cresce sem limite. Logo, não há ponto de distância máxima.
Passo 8
Os pontos mais próximos da origem são
,
,
e
à distância
. Não existe ponto mais afastado da origem nessa superfície devido à não-limitude da mesma.
Resposta
Os pontos mais próximos são (1,1,1), (1,-1,-1), (-1,1,-1) e (-1,-1,1), todos à distância
da origem. Não há ponto mais afastado.