Encontre as dimensões do retângulo de área máxima A que pode ser inscrito na porção da parábola y^2=4 x que é interceptada pela reta x=1.

Passo 1

O enunciado pede para inscrever um retângulo de área máxima na região limitada pela parábola ,y^2=4x e pela reta ,x=1. O retângulo terá lados paralelos aos eixos e ficará “deitado” entre as curvas y=-2 e y=2 (intersecções da parábola com x=1). Vamos usar otimização: expressar a área em função de uma única variável e encontrar seu máximo.

Passo 2

Seja (x,y) o ponto do ramo superior da parábola onde toca o retângulo. Pela simetria em torno de y=0, os vértices superiores são (x,y) e (1,y) e os inferiores são (x,-y) e (1,-y). A largura do retângulo é
L = 1 - x
e a altura é
H = y - (-y) = 2y

Passo 3

Como (x,y) está na parábola, vale ,y^2=4x, ou seja
y = 2raizx
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H = 2y = 4raizx

Passo 4

A área do retângulo em função de x fica
A(x) = L cdot H = (1 - x)cdot 4raizx = 4(1-x)x^1/2,
com domínio 0<= x<=1. Para achar o máximo, derivamos e igualamos a zero:
A'(x) =4l(tfrac1-x2raizx - raizxr) =4;1-3x2raizx Longrightarrow 1-3x=0 ;Rightarrow;x=tfrac13

Passo 5

Em x=tfrac13 obtemos
y = 2raiztfrac13 = 2raiz3,
então
L = 1 - x = 23, H = 2y = 4raiz3

Resposta

A base (largura) do retângulo é tfrac23 e a altura é tfrac4raiz3.

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