Encontre as dimensões de um retângulo com perímetro de 80 m cuja área seja a maior possível.

Passo 1

O enunciado pede para determinar as dimensões de um retângulo de perímetro fixo igual a 80 m de modo que sua área seja máxima. O conteúdo que vamos usar é otimização de função de uma variável sujeita a uma restrição, resolvida via derivada.

Passo 2

Escolhemos uma variável, por exemplo o comprimento x (em metros), e a outra dimensão será a largura y (em metros). Como o perímetro é
2(x + y) = 80,
temos
y = 40 - x
A área do retângulo é dada por
A(x) = x cdot y = x,(40 - x) = 40x - x^2

Passo 3

Para encontrar o valor de x que maximiza A(x), calculamos a derivada e igualamos a zero:
A'(x) = 40 - 2x,
A'(x)=0 Longrightarrow 40 - 2x = 0 Longrightarrow x = 20

Passo 4

Verificamos que
A''(x) = -2 < 0,
logo x=20 m de fato corresponde a um ponto de máximo. Então a outra dimensão é
y = 40 - x = 40 - 20 = 20 m

Resposta

As dimensões que maximizam a área são 20 m por 20 m.

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