Encontre as dimensões de um retângulo com perímetro de 80 m cuja área seja a maior possível.
Passo 1
O enunciado pede para determinar as dimensões de um retângulo de perímetro fixo igual a
m de modo que sua área seja máxima. O conteúdo que vamos usar é otimização de função de uma variável sujeita a uma restrição, resolvida via derivada.
Passo 2
Escolhemos uma variável, por exemplo o comprimento
(em metros), e a outra dimensão será a largura
(em metros). Como o perímetro é
temos
A área do retângulo é dada por
Passo 3
Para encontrar o valor de
que maximiza
, calculamos a derivada e igualamos a zero:
Passo 4
Verificamos que
logo
m de fato corresponde a um ponto de máximo. Então a outra dimensão é
Resposta
As dimensões que maximizam a área são
m por
m.