Verifiquem a existência ou não existência dos limites a seguir:
lim (x, y) (0,0) x^2-sen^2(y)x^2+2 y^2

Passo 1

O enunciado pede o limite de
x^2-sin^2(y)x^2+2y^2
quando (x,y)to(0,0). O conteúdo aqui é limites de funções de duas variáveis, e vamos verificar a existência do limite estudando diferentes caminhos de aproximação.

Passo 2

No caminho y=0 temos
x^2-sin^2(0)x^2+2cdot0^2 =x^2x^2 =1
Portanto
lim(x,0)to(0,0)x^2-sin^2(y)x^2+2y^2=1.

Passo 3

No caminho x=0 temos
0-sin^2(y)0+2y^2 =-sin^2(y)2y^2 longrightarrow -12 pois sin(y)yto1
Logo
lim(0,y)to(0,0)x^2-sin^2(y)x^2+2y^2 =-12.

Passo 4

Os limites ao longo de y=0 e de x=0 são diferentes ( 1neq -tfrac12), então o limite não pode ser único. Concluímos que o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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