Minimize e maximize
.
com
.
Passo 1
O enunciado pede para minimizar e maximizar a função sujeita à restrição. Dados e pedido:
Perguntas claras: encontrar os pontos
que tornam
mínimo e máximo sobre o conjunto
e calcular os respectivos valores de
. Informações relevantes dadas: a restrição fixa a soma das sextas potências igual a
. Observe que a restrição é simétrica em trocar
por
e em trocar
por
(e o mesmo para
).
Passo 2
Método: multiplicadores de Lagrange (vou te lembrar como funciona). Para uma função
sujeita a
, pontos críticos internos satisfazem
ou seja resolver o sistema formado pelas igualdades das derivadas parciais e pela restrição. Agora aplico isso aqui.
Calcule gradientes:
A condição de Lagrange é
Isto dá as equações escalares
Se
e
podemos dividir e obter
Como estamos interessados em
e
(pois
e
envolvem potências pares), a última igualdade implica
Usando isso na restrição
temos
. Portanto
Logo, de pontos com ambas coordenadas não nulas, os candidatos são
(com todas as combinações de sinais). Nestes pontos
Passo 3
Agora verifiquemos casos em que uma coordenada é zero (esses casos podem escapar da dedução
porque dividimos por
ou
antes). Considere
. Da restrição segue
Nestes pontos
De modo análogo, se
obtemos os pontos
e o mesmo valor
.
Passo 4
Precisamos agora decidir quais são máximos e mínimos globais. Primeiro a parte do máximo: uma desigualdade útil é a desigualdade das médias potenciais (power mean) ou a desigualdade de Jensen para
(que é convexa em
). Escrevendo
e
, temos a restrição
. Pela convexidade de
segue
Substituindo
obtemos
Como
, isto mostra que
para todo ponto viável, e que a igualdade ocorre exatamente quando
, isto é quando
. Nós já encontramos esses pontos e o valor
. Portanto
e é atingido em
.
Passo 5
Agora a parte do mínimo. Já calculamos candidatos com uma coordenada zero que dão
. Resta provar que nenhum ponto viável dá valor menor que
. Voltemos à parametrização
e
(pois
). Considere a função
que representa
ao percorrer a curva de restrição com
variando. Vamos estudar concavidade/convexidade de
para localizar extremos finais. Calcule a segunda derivada (vou mostrar de forma direta):
primeira derivada
primeira derivada
segunda derivada (após simplificação)
Para
temos
e
, logo
. Assim
é estritamente côncava no intervalo aberto, portanto o mínimo de
ocorre nas extremidades do intervalo, isto é em
ou
. Esses dois extremos correspondem exatamente aos pontos em que uma das coordenadas é zero. Em ambos os casos o valor é
Portanto
e é atingido nos pontos
e
.
Passo 6
Resumo dos pontos críticos e classificação rápida (já justificada):
- Máximo global:
em (quatro combinações de sinais). - Mínimo global:
em e .