Minimize e maximize f(x, y).
f=x^{2}+y^{2} com g=x^{6}+y^{6}-2=0.

Passo 1

O enunciado pede para minimizar e maximizar a função sujeita à restrição. Dados e pedido:
f(x,y)=x^{2}+y^{2}
g(x,y)=x^{6}+y^{6}-2=0
Perguntas claras: encontrar os pontos (x,y) que tornam f mínimo e máximo sobre o conjunto \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{6}+y^{6}=2\} e calcular os respectivos valores de f. Informações relevantes dadas: a restrição fixa a soma das sextas potências igual a 2. Observe que a restrição é simétrica em trocar x por y e em trocar x por -x (e o mesmo para y).

Passo 2

Método: multiplicadores de Lagrange (vou te lembrar como funciona). Para uma função f(x,y) sujeita a g(x,y)=0, pontos críticos internos satisfazem
\∇f=\lambda\∇g,
ou seja resolver o sistema formado pelas igualdades das derivadas parciais e pela restrição. Agora aplico isso aqui.
Calcule gradientes:
\∇f=(2x,\,2y),
\∇g=(6x^{5},\,6y^{5}).
A condição de Lagrange é
(2x,2y)=\lambda(6x^{5},6y^{5}).
Isto dá as equações escalares
2x=6\lambda x^{5},\qquad 2y=6\lambda y^{5}.
Se x\neq 0 e y\neq 0 podemos dividir e obter
\frac{2x}{6\lambda x^{5}}=\frac{2y}{6\lambda y^{5}}\quad\Rightarrow\quad x^{4}=y^{4}.
Como estamos interessados em x^{2} e y^{2} (pois f e g envolvem potências pares), a última igualdade implica
x^{2}=y^{2}.
Usando isso na restrição x^{6}+y^{6}=2 temos 2x^{6}=2\Rightarrow x^{6}=1. Portanto
x^{2}=1,\qquad y^{2}=1.
Logo, de pontos com ambas coordenadas não nulas, os candidatos são
(x,y)=(\pm 1,\pm 1)
(com todas as combinações de sinais). Nestes pontos
f(x,y)=x^{2}+y^{2}=1+1=2.

Passo 3

Agora verifiquemos casos em que uma coordenada é zero (esses casos podem escapar da dedução x^{2}=y^{2} porque dividimos por x ou y antes). Considere x=0. Da restrição segue
0^{6}+y^{6}=2\quad\Rightarrow\quad y^{6}=2\quad\Rightarrow\quad y=\pm 2^{1/6}.
Nestes pontos
f(0,y)=0+y^{2}=(2^{1/6})^{2}=2^{1/3}.
De modo análogo, se y=0 obtemos os pontos
(x,y)=(\pm 2^{1/6},0)
e o mesmo valor f=2^{1/3}.

Passo 4

Precisamos agora decidir quais são máximos e mínimos globais. Primeiro a parte do máximo: uma desigualdade útil é a desigualdade das médias potenciais (power mean) ou a desigualdade de Jensen para t\mapsto t^{3} (que é convexa em [0,\infty)). Escrevendo u=x^{2}\ge 0 e v=y^{2}\ge 0, temos a restrição u^{3}+v^{3}=2. Pela convexidade de t^{3} segue
\frac{u^{3}+v^{3}}{2}\ge\left(\frac{u+v}{2}\right)^{3}.
Substituindo u^{3}+v^{3}=2 obtemos
1\ge\left(\frac{u+v}{2}\right)^{3}\quad\Rightarrow\quad u+v\le 2.
Como u+v=x^{2}+y^{2}=f(x,y), isto mostra que f(x,y)\le 2 para todo ponto viável, e que a igualdade ocorre exatamente quando u=v, isto é quando x^{2}=y^{2}. Nós já encontramos esses pontos e o valor 2. Portanto f_{\max}=2 e é atingido em (\pm 1,\pm 1).

Passo 5

Agora a parte do mínimo. Já calculamos candidatos com uma coordenada zero que dão f=2^{1/3}. Resta provar que nenhum ponto viável dá valor menor que 2^{1/3}. Voltemos à parametrização u=x^{2}\in[0,2^{1/3}] e v=(2-u^{3})^{1/3} (pois v^{3}=2-u^{3}). Considere a função
h(u)=u+(2-u^{3})^{1/3},
que representa u+v=f ao percorrer a curva de restrição com u variando. Vamos estudar concavidade/convexidade de h para localizar extremos finais. Calcule a segunda derivada (vou mostrar de forma direta):
primeira derivada
h'(u)=1 - u^{2}(2-u^{3})^{-2/3},
segunda derivada (após simplificação)
h''(u)=-4u\,(2-u^{3})^{-5/3}.
Para u\in(0,2^{1/3}) temos u>0 e 2-u^{3}>0, logo h''(u)<0. Assim h é estritamente côncava no intervalo aberto, portanto o mínimo de h ocorre nas extremidades do intervalo, isto é em u=0 ou u=2^{1/3}. Esses dois extremos correspondem exatamente aos pontos em que uma das coordenadas é zero. Em ambos os casos o valor é
h(0)=h(2^{1/3})=2^{1/3}.
Portanto f_{\min}=2^{1/3} e é atingido nos pontos (0,\pm 2^{1/6}) e (\pm 2^{1/6},0).

Passo 6

Resumo dos pontos críticos e classificação rápida (já justificada):
  • Máximo global: f_{\max}=2 em (x,y)=(\pm 1,\pm 1) (quatro combinações de sinais).
  • Mínimo global: f_{\min}=2^{1/3} em (x,y)=(0,\pm 2^{1/6}) e (x,y)=(\pm 2^{1/6},0).

Resposta

f_{\min}=2^{1/3} atingido em (0,\pm 2^{1/6}) e (\pm 2^{1/6},0).\n
f_{\max}=2 atingido em (\pm 1,\pm 1).

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