( 0,7 pontos) Escrever equações reduzidas da reta h que passa pelo ponto C(2,-1,3) e é ortogonal ao mesmo tempo aos eixos dos x e dos z. Justifique suas afirmações. Represente a reta graficamente.
Passo 1
O enunciado pede a reta h que passa por C(2,-1,3) e é ortogonal aos eixos x e z. O conteúdo é geometria analítica no espaço: para achar a reta precisamos de um vetor diretor que seja perpendicular aos vetores (1,0,0) e (0,0,1), depois escrever as equações paramétricas e, finalmente, as equações reduzidas.
Passo 2
Seja \mathbf{e}_x=(1,0,0) o vetor do eixo x e \mathbf{e}_z=(0,0,1) o vetor do eixo z. Buscamos \mathbf{v}=(a,b,c) tal que
Logo a=0 e c=0, e podemos escolher b\neq0. Tomando o mais simples, b=1, fica
\mathbf{v}=(0,1,0).
Passo 3
Com ponto C(2,-1,3)\) e vetor diretor \(\mathbf{v}=(0,1,0)\), a equação vetorial da reta é
\[\mathbf{r}(t)=(2,-1,3) + t\,(0,1,0).
Isto dá as equações paramétricas
\begin{cases} x = 2,\\\ y = -1 + t,\\\ z = 3, \end{cases}
com (t\in\mathbb{R}].
Passo 4
Para escrever as equações reduzidas (forma simétrica), observamos que nos componentes x e z o deslocamento é zero e só o y varia. Então separamos:
x=2,\quad z=3,
e a única fração não nula seria \dfrac{y+1}{1}=t, mas tradicionalmente basta indicar
x=2,\quad z=3,\quad y\;\text{livre}.
Passo 5
Justificativa: o vetor diretor (0,1,0) é ortogonal a (1,0,0) e a (0,0,1) pois seus produtos escalares são zero. Graficamente, h é a reta paralela ao eixo y, que atravessa o ponto C, ou seja, no espaço fica um “fio” vertical localizado na coordenada x=2 e z=3.
Resposta
Equações paramétricas:
\begin{cases} x = 2,\\\ y = -1 + t,\\\ z = 3, \end{cases} \quad t\in\mathbb{R}.