Encontre a distância entre os pontos com coordenadas polares dadas por (1, pi / 6) e (3,3 pi / 4); raiz40+6 raiz6-6 raiz2

Passo 1

O enunciado pede a distância entre dois pontos dados em coordenadas polares (r1,theta1)=(1,pi/6) e (r2,theta2)=(3,3pi/4). O conteúdo principal aqui é a fórmula da distância em coordenadas polares, que permite calcular diretamente sem converter para cartesianas.

Passo 2

A fórmula da distância entre dois pontos em coordenadas polares é
d^2 = r1^2 + r2^2 ;-;2,r1,r2cosl(theta2-theta1r)
Aqui temos r1=1, r2=3 e theta2-theta1=3pi/4-pi/6.

Passo 3

Calculemos o ângulo
De<a theta = 3pi/4 - pi/6 = 9pi12 - 2pi12 = 7pi12
Agora precisamos de cos(7pi/12). Note que
7pi/12 = pi2 + pi12 Longrightarrow cosl(tfracpi2+alphar)=-sinalpha
Logo
cosl(tfrac7pi12r) = -sinl(tfracpi12r)
E sabemos que sin(pi/12)=sin(15^circ)=tfracraiz6-raiz24. Portanto
cosl(tfrac7pi12r) = -raiz6-raiz24 = raiz2-raiz64

Passo 4

Substituindo na fórmula de d^2:
d^2 = 1^2 + 3^2 - 2cdot1cdot3cdotraiz2-raiz64 = 10 - 6(raiz2-raiz6)4 = 10 - 3(raiz2-raiz6)2
Colocando tudo sobre o mesmo denominador:
d^2 = 20 - 3raiz2 +3raiz62 = 20 +3raiz6 -3raiz22

Passo 5

Logo a distância é
d = raizd^2 = raiz20 +3raiz6 -3raiz22 = 12,raiz40 +6raiz6 -6raiz2

Resposta

boxedd = raiz40 + 6raiz6 - 6raiz22

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