Esboce a curva com equação polar dada. (Utilize uma calculadora gráfica apenas para conferir a resposta)
r=2 cos (3 theta)

Passo 1

O enunciado pede o esboço da curva polar
r = 2 cos(3theta)
O conteúdo envolve rosas polares do tipo r=acos(ntheta). Para resolver, vamos determinar os ângulos onde r é zero, onde atinge o valor máximo e analisar as simetrias.

Passo 2

Igualando r a zero encontramos as raízes, que marcam o início e fim de cada pétala:
2cos(3theta)=0 Longrightarrow cos(3theta)=0 Longrightarrow 3theta=pi2+kpi Longrightarrow theta=pi6+kpi3,
com kinZ.

Passo 3

O valor de r é máximo quando cos(3theta)=1, ou seja,
3theta=2kpi Longrightarrow theta=2kpi3,
para k=0,1,2. Nesses ângulos temos
rmax=2,
que são as pontas das três pétalas, localizadas em theta=0,;2pi/3,;4pi/3.

Passo 4

Como cos(3theta) é função par e tem período tfrac2pi3, a curva é simétrica em relação ao eixo polar ( theta=0). Entre dois zeros consecutivos
theta=pi6+kpi3 e theta=pi6+(k+1)pi3,
temos cos(3theta) positivo, logo r cresce de 0 até 2 e retorna a 0, formando cada pétala.

Passo 5

Usando esses ângulos, esboçamos três pétalas de comprimento 2, centradas em
theta=0, theta=2pi3, theta=4pi3,
com início e fim nos zeros em theta=pi6+kpi3. O esboço final é uma rosa de três pétalas simétrica ao redor do eixo polar.

Resposta

O gráfico de r=2cos(3theta) é uma rosa de três pétalas de comprimento 2, centradas em theta=0, theta=2pi/3 e theta=4pi/3, simétrica em relação ao eixo polar.

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