Encontre a distância entre as retas r1 e r2
r1: x-22=y+1-2=2-z4. e r2 : lx=-3+t y=t z=1-2 t para todo t in R.

Passo 1

O enunciado pede a distância entre duas retas r1 e r2 no espaço. Esse problema usa o conteúdo de geometria analítica em R^3, mais precisamente a fórmula da distância entre duas retas (possivelmente reversas)
d = l|l(P2-P1r)cdotl(v1timesv2r)r||v1timesv2|,
onde v1 e v2 são vetores diretores de r1,r2 e P1,P2 pontos quaisquer em cada reta.

Passo 2

Encontrar uma forma paramétrica de cada reta e extrair ponto e vetor diretor.
Para
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Um ponto em é e o vetor diretor .
Para
um ponto em e o vetor diretor .

Passo 3

Calcular o produto vetorial v1timesv2.
v1timesv2 = i & j & k 2 & -2 & -4 1 & 1 & -2 = (8),i - (0),j + (4),k = (8,0,4)
O módulo é
|v1timesv2| = raiz8^2 + 0^2 + 4^2 = raiz80 = 4raiz5

Passo 4

Formar o vetor que liga P1 a P2:
P2 - P1 = (-3-2,;0+1,;1-2) = (-5,1,-1)

Passo 5

Calcular o produto escalar l(P2-P1r)cdotl(v1timesv2r):
(-5,1,-1)cdot(8,0,4) = -5cdot8 + 1cdot0 + (-1)cdot4 = -44
O valor absoluto é l|-44r|=44.

Passo 6

Aplicar a fórmula da distância:
d = 444raiz5 = 11raiz5 = 11raiz55

Resposta

A distância entre as retas é
boxed11raiz55

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