Prove que
não é isomórfico a
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que os grupos abelianos aditivos
e
não são isomorfos.
Conteúdo: teoria de grupos abelianos, isomorfismo de grupos e propriedade de ser cíclico.
Conteúdo: teoria de grupos abelianos, isomorfismo de grupos e propriedade de ser cíclico.
Passo 2
Mostramos que
é um grupo cíclico. De fato, todo elemento
pode ser escrito como múltiplo de
:
logo
Passo 3
Mostramos que
não é cíclico. Suponha, por absurdo, que exista um único
gerando todo
. Escreva
com
. Então o subgrupo gerado por
é
Qualquer elemento de
tem denominador (em forma irredutível) que divide
. Mas o elemento
é um racional cujo denominador irreduzível é
, que não divide
. Logo
. Contradição:
. Portanto
não é cíclico.
Passo 4
A propriedade de ser cíclico é preservada por isomorfismos de grupos: se
e
é cíclico, então
também é cíclico. Aqui
é cíclico, mas
não é. Logo não pode haver isomorfismo entre eles.
Resposta
Não existe isomorfismo entre
e
, pois
é cíclico e
não o é.