Prove que Q não é isomórfico a Z.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que os grupos abelianos aditivos Q e Z não são isomorfos.
Conteúdo: teoria de grupos abelianos, isomorfismo de grupos e propriedade de ser cíclico.

Passo 2

Mostramos que Z é um grupo cíclico. De fato, todo elemento ninZ pode ser escrito como múltiplo de 1:
n = ncdot1,
logo
Z = lang<= 1rang<=

Passo 3

Mostramos que Q não é cíclico. Suponha, por absurdo, que exista um único qinQ gerando todo Q. Escreva
q = ab,
com gcd(a,b)=1. Então o subgrupo gerado por q é
lang<= qrang<= = nq mid ninZ = lnabmid ninZr
Qualquer elemento de lang<= qrang<= tem denominador (em forma irredutível) que divide b. Mas o elemento
r = 1b+1
é um racional cujo denominador irreduzível é b+1, que não divide b. Logo rnotinlang<= qrang<=. Contradição: lang<= qrang<=neqQ. Portanto Q não é cíclico.

Passo 4

A propriedade de ser cíclico é preservada por isomorfismos de grupos: se Gcong H e G é cíclico, então H também é cíclico. Aqui Z é cíclico, mas Q não é. Logo não pode haver isomorfismo entre eles.

Resposta

Não existe isomorfismo entre Q e Z, pois Z é cíclico e Q não o é.

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