Encontre dois vetores ortogonais ao vetor A=(-3,1,4).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar dois vetores em \mathbb{R}^3 ortogonais ao vetor
A = (-3,\,1,\,4).
O conteúdo envolvido é ortogonalidade de vetores, que em \mathbb{R}^3 se caracteriza pelo produto escalar. Vamos usar a condição
A \cdot v = 0
para obter vetores v=(x,y,z) ortogonais a A.

Passo 2

Dois vetores A=(A_1,A_2,A_3) e v=(x,y,z) são ortogonais se e somente se
A \cdot v = A_1 x + A_2 y + A_3 z = 0.
No nosso caso, A_1=-3, A_2=1 e A_3=4.

Passo 3

Escrevendo a condição para v=(x,y,z):
(-3)\,x + 1\cdot y + 4\,z = 0
ou seja
-3x + y + 4z = 0.
Isso define um plano em \mathbb{R}^3. Para achar vetores, basta escolher pares (y,z) e resolver para x.

Passo 4

Escolhendo y=3 e z=0, a equação fica
-3x + 3 + 4\cdot 0 = 0 \quad\Longrightarrow\quad -3x + 3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 1.
Assim obtemos o vetor
v_1 = (1,\,3,\,0),
que satisfaz -3\cdot1 + 1\cdot3 + 4\cdot0 = 0.

Passo 5

Para garantir independência, escolhemos agora y=-4 e z=1. A equação vira
-3x - 4 + 4\cdot1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad -3x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 0.
Dessa forma obtemos
v_2 = (0,\,-4,\,1),
e de fato -3\cdot0 + 1\cdot(-4) + 4\cdot1 = 0.

Resposta

Os dois vetores ortogonais a A=(-3,1,4) são
v_1 = (1,\,3,\,0) \quad\text{e}\quad v_2 = (0,\,-4,\,1).

Exercícios relacionados