Marque Verdadeiro (V) ou Falso (F), a respeito de vetores em \mathbb{R}^{3}, justificando corretamente sua escolha.
(a) ( ) A \cdot A \times C=0.
(b) ( ) A \cdot B \times C=-B \times A \cdot C.
(c) ( ) Se A e B não são colineares e x A+y B=0 \operatorname{com} x, y \in \mathbb{R}, então x=0=y.

Passo 1

O exercício apresenta três afirmações sobre vetores A,B,C\in\mathbb{R}^3 e pede para classificá-las como verdadeiras ou falsas, justificando. Vamos usar:
  1. A definição de produto vetorial e o fato de u\times v ser perpendicular a u e a v.
  2. A anticomutatividade do produto vetorial: B\times A=-(A\times B).
  3. As propriedades ciclícas e de troca de sinal do produto misto \,(X\times Y)\cdot Z=X\cdot(Y\times Z).
  4. Que vetores não colineares são linearmente independentes.

Passo 2

Analisando (a):
A\cdot\bigl(A\times C\bigr)=0.
Como A\times C é ortogonal a A, seu produto escalar com A é zero. Portanto, a afirmação é verdadeira.

Passo 3

Analisando (b):
A\cdot\bigl(B\times C\bigr)\stackrel{?}{=}-\bigl(B\times A\bigr)\cdot C.
Usamos B\times A=-(A\times B), logo
-\bigl(B\times A\bigr)\cdot C =-\bigl[-(A\times B)\bigr]\cdot C =(A\times B)\cdot C
e pela propriedade ciclíca do produto misto (A\times B)\cdot C=A\cdot(B\times C). Logo também é verdadeira.

Passo 4

Analisando (c):
Se A e B não são colineares, então formam um conjunto linearmente independente em \mathbb{R}^3. A equação
x\,A + y\,B = 0
implica necessariamente x=0 e y=0. Logo essa afirmação também é verdadeira.

Resposta

(a) V
(b) V
(c) V

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