• Tarefa: Demonstrar os outros 3 axiomas da adição:
    para conjunto V=\left(\left(x, x^{\wedge} 2\right) / x e R\right)
  • \mathrm{u}+\mathrm{v}=\mathrm{v}+\mathrm{u}
  • \mathrm{u}+0=\mathrm{u}
  • \mathrm{u}+(-\mathrm{u})=0

Passo 1

Vamos considerar
V = \bigl\{(x,x^{2}) \mid x\in\mathbb{R}\bigr\}
com a operação de adição dada, para u=(x,x^{2}) e v=(y,y^{2}), por
u+v = (\,x+y,\,(x+y)^{2}\,).
O elemento neutro é
0 = (0,0),
e o inverso de u é definido por
-\,u = \bigl(-x,\,(-x)^{2}\bigr) = (-x,x^{2}).
Vamos demonstrar: 1) comutatividade, 2) identidade e 3) inverso.

Passo 2

(Comutatividade)
Seja u=(x,x^{2}) e v=(y,y^{2}). Então
u+v = \bigl(x+y,\,(x+y)^{2}\bigr).
Como a soma em \mathbb{R} é comutativa, x+y = y+x, segue
u+v = \bigl(x+y,(x+y)^{2}\bigr) = \bigl(y+x,(y+x)^{2}\bigr) = v+u.

Passo 3

(Existência do elemento neutro)
O candidato ao neutro é 0=(0,0). Para qualquer u=(x,x^{2}),
u+0 = \bigl(x+0,\,(x+0)^{2}\bigr) = (x,x^{2}) = u,
e de modo análogo 0+u=u. Portanto 0 é o neutro.

Passo 4

(Existência do inverso)
Dado u=(x,x^{2}), definimos
-\,u = (-x,\,(-x)^{2}) = (-x,x^{2}).
Então
u + (-u) = \bigl(x + (-x),\,(x + (-x))^{2}\bigr) = (0,0) = 0,
logo -u é de fato o inverso de u.

Resposta

Os três axiomas foram demonstrados:
  1. u+v=v+u,
  2. u+0=u,
  3. u+(-u)=0.

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