Encontre o domínio de cada função
h(x)=raiz12+8 x-x^3-x^2

Passo 1

O enunciado pede pra gente encontrar o domínio da função h(x)=raiz12+8x-x^3-x^2. O conteúdo envolvido é domínio de função com raiz e vamos lembrar que o que estiver dentro da raiz tem que ser maior ou igual a zero.

Passo 2

Pra resolver, a gente vai chamar a parte de dentro da raiz de uma expressão e impor que ela seja >= 0. Isso dá uma desigualdade que a gente precisa resolver.

Passo 3

Vamos definir f(x)=12+8x-x^2-x^3. Então a condição de domínio é f(x)>= 0. Pra facilitar, a gente pode mudar de sinal e estudar o polinômio g(x)=x^3+x^2-8x-12, ficando com g(x)<= 0.

Passo 4

Agora, precisamos achar as raízes de g(x). Testando alguns valores inteiros, a gente vê que g(3)=0. Fazendo a divisão sintética ou fatorando direto, descobrimos que g(x)=(x-3)(x+2)^2.

Passo 5

Como (x+2)^2 é sempre não negativo e só zera em x=-2, o sinal de g(x) é decidido pelo fator x-3. Pra ter g(x)<= 0, precisamos de x-3<= 0, ou seja, x<= 3.

Passo 6

Concluindo, a condição pra radicando ser não negativo é x<= 3, então esse é o domínio da função.

Resposta

(-infty,3]

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