Seguindo as etapas de construção de gráfico, apresentadas em aula, fazer um esboço do gráfico das seguintes funções.
Passo 1
O enunciado pede um esboço do gráfico de
Vamos seguir as etapas: domínio e interceptos, simetria, derivadas para monotonia e concavidade, comportamento nos extremos e então montar o esboço.
Passo 2
Domínio: como
para todo
, o domínio é
.
Intercepto em :
, logo passa por
.
Simetria:
Intercepto em
Simetria:
logo
é função ímpar (simétrica em relação à origem).
Passo 3
Derivada primeira para monotonia:
Seja
e
Note que
e
então
para todo
. Assim
sempre que
(e
). Concluímos que
é crescente em
, sem máximos ou mínimos locais.
Passo 4
Derivada segunda para concavidade:
O sinal de
é o mesmo de
. Logo
é côncava para baixo em
e côncava para cima em
, com ponto de inflexão em
.
Passo 5
Comportamento nos extremos e pontos notáveis:
Para ,
e
Para
crescendo sem limite (
para
e
para
).
Próximo a zero, , então
, o que explica o contato cúbico no ponto de inflexão.
Alguns valores:
,
, e simetricamente
,
.
Próximo a zero,
Alguns valores:
Passo 6
Esboço do gráfico
A curva passa por , cresce em toda reta, é ímpar, côncava para baixo à esquerda de
e côncava para cima à direita. Para grandes
sobe sem limite conforme
. Pontos de referência:
,
e seus simétricos negativos.
A curva passa por
Resposta
Gráfico ímpar, crescente em
, inflexão em
, sem assíntotas, com forma de “S” girado, aproximando-se para
de
.