Seguindo as etapas de construção de gráfico, apresentadas em aula, fazer um esboço do gráfico das seguintes funções.
g(x)=x cdot ln (x^2+1)

Passo 1

O enunciado pede um esboço do gráfico de
g(x)=xlnl(x^2+1r)
Vamos seguir as etapas: domínio e interceptos, simetria, derivadas para monotonia e concavidade, comportamento nos extremos e então montar o esboço.

Passo 2

Domínio: como x^2+1>0 para todo x, o domínio é R.
Intercepto em y: g(0)=0, logo passa por (0,0).
Simetria:
g(-x)=(-x),lnl((-x)^2+1r)=-xln(x^2+1)=-g(x),
logo g é função ímpar (simétrica em relação à origem).

Passo 3

Derivada primeira para monotonia:
g'(x) =lnl(1+x^2r)+xcdot2x1+x^2 =lnl(1+x^2r)+2x^21+x^2
Seja t=x^2>=0 e
f(t)=ln(1+t)+2t1+t
Note que f(0)=0 e
f'(t)=11+t+2(1+t)-2t(1+t)^2 =3+t(1+t)^2>0,
então f(t)>0 para todo t>0. Assim g'(x)>0 sempre que xneq0 (e g'(0)=0). Concluímos que g é crescente em R, sem máximos ou mínimos locais.

Passo 4

Derivada segunda para concavidade:
g''(x) =2x,(3+x^2)(1+x^2)^2
O sinal de g''(x) é o mesmo de x. Logo g é côncava para baixo em x<0 e côncava para cima em x>0, com ponto de inflexão em x=0.

Passo 5

Comportamento nos extremos e pontos notáveis:
Para xtopminfty,
ln(1+x^2)sim2ln|x| e
g(x)sim xcdot2ln|x|=2xln|x|,
crescendo sem limite ( +infty para xto+infty e -infty para xto-infty).
Próximo a zero, ln(1+x^2)approx x^2, então g(x)approx x^3, o que explica o contato cúbico no ponto de inflexão.
Alguns valores:
,g(1)=ln2approx0,693,
,g(2)=2ln5approx3,218, e simetricamente (-1,-0,693), (-2,-3,218).

Passo 6

Esboço do gráfico
A curva passa por (0,0), cresce em toda reta, é ímpar, côncava para baixo à esquerda de x=0 e côncava para cima à direita. Para grandes |x| sobe sem limite conforme 2xln|x|. Pontos de referência: (1,0,693), (2,3,218) e seus simétricos negativos.

Resposta

Gráfico ímpar, crescente em R, inflexão em (0,0), sem assíntotas, com forma de “S” girado, aproximando-se para xtopminfty de 2xln|x|.

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