Para as funções dos exercícios 18. a 22., determine e classifique os pontos críticos, se existirem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar e classificar os pontos críticos da função
. Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, especialmente na análise de funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar encontrar as derivadas parciais da função em relação a
e
, igualá-las a zero para achar os pontos críticos, e depois usar o teste das derivadas segundas para classificar esses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a
e
. As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando variamos apenas uma das variáveis, mantendo a outra constante.
Para
, a derivada parcial em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos acontecem onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero. Ou seja, precisamos resolver o sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver o sistema de equações. Da segunda equação, podemos isolar
:
Agora, substituímos
na primeira equação:
Então, as soluções são:
E, consequentemente:
- Se
, então - Se
, então
Portanto, os pontos críticos são
e
.
Passo 5
Agora, vamos classificar esses pontos críticos usando o teste das derivadas segundas. Primeiro, precisamos encontrar as derivadas segundas:
O discriminante
é dado por:
Vamos calcular
para cada ponto crítico.
Para o ponto
:
Como
, esse ponto é um ponto de sela.
Para o ponto
:
Aqui,
e
, então esse ponto é um ponto de mínimo local.
Resposta
Os pontos críticos são
, que é um ponto de sela, e
, que é um ponto de mínimo local.