Para as funções dos exercícios 18. a 22., determine e classifique os pontos críticos, se existirem.
f(x, y) = 8*x^3 + 2*x*y - 3*x^2 + y^2 + 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar e classificar os pontos críticos da função . Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, especialmente na análise de funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar encontrar as derivadas parciais da função em relação a e , igualá-las a zero para achar os pontos críticos, e depois usar o teste das derivadas segundas para classificar esses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando variamos apenas uma das variáveis, mantendo a outra constante.
Para , a derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos acontecem onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero. Ou seja, precisamos resolver o sistema de equações:

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações. Da segunda equação, podemos isolar :
Agora, substituímos na primeira equação:
Então, as soluções são:
E, consequentemente:
  • Se , então
  • Se , então
Portanto, os pontos críticos são e .

Passo 5

Agora, vamos classificar esses pontos críticos usando o teste das derivadas segundas. Primeiro, precisamos encontrar as derivadas segundas:
O discriminante é dado por:
Vamos calcular para cada ponto crítico.
Para o ponto :
Como , esse ponto é um ponto de sela.
Para o ponto :
Aqui, e , então esse ponto é um ponto de mínimo local.

Resposta

Os pontos críticos são , que é um ponto de sela, e , que é um ponto de mínimo local.

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