Use o Teorema do Valor Intermediário para provar que existe uma raiz da equação no intervalo especificado: ln(x) = e^(-x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente usar o Teorema do Valor Intermediário para provar que existe uma raiz da equação em um intervalo específico. O que isso significa? Basicamente, queremos mostrar que a função que resulta da diferença entre ln x e e^-x tem pelo menos um ponto onde ela cruza o eixo x nesse intervalo. Para isso, vamos precisar entender o teorema e aplicar alguns conceitos básicos de funções contínuas.

Passo 2

Primeiro, vamos definir uma nova função que representa a diferença entre os dois lados da equação:
Nosso objetivo é encontrar um valor de x no intervalo dado tal que , ou seja, onde .

Passo 3

Agora, precisamos verificar se a função f(x) é contínua no intervalo especificado. Tanto a função ln x quanto a função e^-x são contínuas para todo . Assim, f(x) também é contínua nesse intervalo.

Passo 4

Segundo o Teorema do Valor Intermediário, se uma função contínua f assume valores de sinais opostos em dois pontos do intervalo, então existe pelo menos um ponto no intervalo onde . Ou seja, se encontrarmos dois valores a e b no intervalo tal que , sabemos que existe um c entre a e b onde .

Passo 5

Vamos escolher dois pontos dentro do intervalo especificado e calcular f(x) nesses pontos. Supondo que o intervalo seja :
  • Para x = 1:
  • Para :

Passo 6

Observamos que e . O produto , ou seja, os sinais são opostos.

Passo 7

Como f(x) é contínua no intervalo e assume valores de sinais opostos em x = 1 e , pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos um ponto c em onde . Portanto, a equação tem pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Resposta

Usando o Teorema do Valor Intermediário, provamos que existe pelo menos uma raiz da equação no intervalo .

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