Use o Teorema do Valor Intermediário para provar que existe uma raiz da equação no intervalo especificado:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente usar o Teorema do Valor Intermediário para provar que existe uma raiz da equação
em um intervalo específico. O que isso significa? Basicamente, queremos mostrar que a função que resulta da diferença entre
e
tem pelo menos um ponto onde ela cruza o eixo x nesse intervalo. Para isso, vamos precisar entender o teorema e aplicar alguns conceitos básicos de funções contínuas.
Passo 2
Primeiro, vamos definir uma nova função que representa a diferença entre os dois lados da equação:
Nosso objetivo é encontrar um valor de
no intervalo dado tal que
, ou seja, onde
.
Passo 3
Agora, precisamos verificar se a função
é contínua no intervalo especificado. Tanto a função
quanto a função
são contínuas para todo
. Assim,
também é contínua nesse intervalo.
Passo 4
Segundo o Teorema do Valor Intermediário, se uma função contínua
assume valores de sinais opostos em dois pontos do intervalo, então existe pelo menos um ponto no intervalo onde
. Ou seja, se encontrarmos dois valores
e
no intervalo tal que
, sabemos que existe um
entre
e
onde
.
Passo 5
Vamos escolher dois pontos dentro do intervalo especificado e calcular
nesses pontos. Supondo que o intervalo seja
:
-
Para
: -
Para
:
Passo 6
Observamos que
e
. O produto
, ou seja, os sinais são opostos.
Passo 7
Como
é contínua no intervalo
e assume valores de sinais opostos em
e
, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos um ponto
em
onde
. Portanto, a equação
tem pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Resposta
Usando o Teorema do Valor Intermediário, provamos que existe pelo menos uma raiz da equação
no intervalo
.