Encontre o domínio de definição das funções:
f(x)=raizlog 1 / 4 2 x^2-5 x+3x^2-1;

Passo 1

O enunciado pede o domínio de
f(x)=raizlog1/42x^2-5x+3x^2-1
Aqui vamos usar duas condições:
1. O logaritmo existe se o argumento for positivo, isto é,
2x^2-5x+3x^2-1>0
2. A raiz quadrada exige que o logaritmo seja não‐negativo, ou seja
log1/42x^2-5x+3x^2-1>=0
Como a base 1/4 está entre 0 e 1, log1/4(y)>=0 equivale a y<=1. Portanto, combinando as duas condições, obtém-se
0<2x^2-5x+3x^2-1<=1

Passo 2

Vamos simplificar a fração
2x^2-5x+3x^2-1
Note que
2x^2-5x+3=2(x-1)l(x-tfrac32r), x^2-1=(x-1)(x+1)
Para xneq1, podemos cancelar (x-1) e escrever
2x^2-5x+3x^2-1 =2(x-1)l(x-tfrac32r)(x-1)(x+1) =2;x-tfrac32x+1

Passo 3

A condição 0<tfrac2x^2-5x+3x^2-1<=1 vira
0<2,x-tfrac32x+1<=1
Dividindo tudo por 2 (positivo) fica
0<x-tfrac32x+1<=tfrac12

Passo 4

Chamando
S(x)=x-tfrac32x+1,
primeiro exigimos S(x)>0. Isso ocorre quando numerador e denominador têm o mesmo sinal:
  • Se x-tfrac32>0 e x+1>0, então x> tfrac32.
  • Se x-tfrac32<0 e x+1<0, então x< -1.
    Logo S(x)>0 para x< -1 ou x>tfrac32 (excluindo x=-1,1).

Passo 5

Agora impomos S(x)<=tfrac12. Escrevendo
x-tfrac32x+1<=tfrac12 Long<=ftrightarrow x-4x+1<=0,
os zeros de numerador e denominador são x=4 e x=-1. O sinal de tfracx-4x+1 é negativo apenas em -1<x<4.
Juntando essa faixa com S(x)>0 (que exige x>tfrac32 ou x< -1), vemos que a única interseção viável é
tfrac32<x<=4

Resposta

O domínio de f é
l(tfrac32,,4r]

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