Encontre o domínio de definição das funções:
;
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado pede para encontrar o domínio de definição da função
. Isso envolve alguns conceitos de Matemática, especificamente funções logarítmicas e radicais. Vamos precisar entender como determinar para quais valores de
a função está bem definida, ou seja, onde ela existe e não dá nenhum problema matemático.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para uma função composta como essa, precisamos garantir que tudo dentro dela seja válido. Ou seja, dentro da raiz quadrada, a expressão
precisa ser um número real e não negativo, já que a raiz quadrada só aceita números maiores ou iguais a zero.
Passo 3
Vamos começar analisando o argumento do logaritmo, que é
. Para o logaritmo ser definido, esse argumento deve ser positivo. Então, temos a condição:
Passo 4
Agora, precisamos resolver essa desigualdade. Para que uma fração seja positiva, o numerador e o denominador devem ter o mesmo sinal (ambos positivos ou ambos negativos).
Primeiro, vamos encontrar os valores de
que tornam o numerador e o denominador zero:
-
⇒ -
⇒
Esses valores dividem a reta numérica em intervalos que vamos analisar.
Passo 5
Vamos testar os intervalos formados por esses pontos:
-
- Numerador:
→ (positivo) - Denominador:
→ (negativo) - Resultado: negativo
- Numerador:
-
- Numerador:
→ (positivo) - Denominador:
→ (positivo) - Resultado: positivo
- Numerador:
-
- Numerador:
→ (negativo) - Denominador:
→ (positivo) - Resultado: negativo
- Numerador:
Então, a fração
é positiva somente no intervalo
.
Passo 6
Agora, voltando à nossa função original, temos a raiz quadrada de um logaritmo. Para a raiz quadrada ser válida, o logaritmo precisa ser maior ou igual a zero:
Lembrando que
quando
(pois
).
Passo 7
Então, precisamos que:
Vamos resolver essa desigualdade:
Passo 8
Agora, resolvemos
. Colocando os sinais:
- O numerador
⇒ - O denominador
⇒
Dividimos a reta numérica nos intervalos:
Analisando os sinais:
-
: - Numerador: positivo
- Denominador: negativo
- Resultado: negativo
-
: - Numerador: positivo
- Denominador: positivo
- Resultado: positivo
-
: - Numerador: negativo
- Denominador: positivo
- Resultado: negativo
Então, a desigualdade
é satisfeita para
.
Passo 9
Agora, precisamos combinar as condições que encontramos:
-
(para o logaritmo ser positivo) -
(para o logaritmo ser maior ou igual a 1)
A interseção dessas condições é
.
Resposta
O domínio de definição da função
é: