Encontre o domínio de definição das funções:
f(x)=raizlog 6 1-2 xx+3;

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado pede para encontrar o domínio de definição da função f(x) = raizlog6 ( 1 - 2xx + 3 ) . Isso envolve alguns conceitos de Matemática, especificamente funções logarítmicas e radicais. Vamos precisar entender como determinar para quais valores de x a função está bem definida, ou seja, onde ela existe e não dá nenhum problema matemático.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma função composta como essa, precisamos garantir que tudo dentro dela seja válido. Ou seja, dentro da raiz quadrada, a expressão log6 ( 1 - 2xx + 3 ) precisa ser um número real e não negativo, já que a raiz quadrada só aceita números maiores ou iguais a zero.

Passo 3

Vamos começar analisando o argumento do logaritmo, que é 1 - 2xx + 3 . Para o logaritmo ser definido, esse argumento deve ser positivo. Então, temos a condição:
1 - 2xx + 3 > 0

Passo 4

Agora, precisamos resolver essa desigualdade. Para que uma fração seja positiva, o numerador e o denominador devem ter o mesmo sinal (ambos positivos ou ambos negativos).
Primeiro, vamos encontrar os valores de x que tornam o numerador e o denominador zero:
  • 1 - 2x = 0 x = 12
  • x + 3 = 0 x = -3
Esses valores dividem a reta numérica em intervalos que vamos analisar.

Passo 5

Vamos testar os intervalos formados por esses pontos:
  1. x < -3
    • Numerador: 1 - 2x 1 - 2(-4) = 9 (positivo)
    • Denominador: x + 3 -4 + 3 = -1 (negativo)
    • Resultado: negativo
  2. -3 < x < 12
    • Numerador: 1 - 2x 1 - 2(0) = 1 (positivo)
    • Denominador: x + 3 0 + 3 = 3 (positivo)
    • Resultado: positivo
  3. x > 12
    • Numerador: 1 - 2x 1 - 2(1) = -1 (negativo)
    • Denominador: x + 3 1 + 3 = 4 (positivo)
    • Resultado: negativo
Então, a fração 1 - 2xx + 3 é positiva somente no intervalo -3 < x < 12 .

Passo 6

Agora, voltando à nossa função original, temos a raiz quadrada de um logaritmo. Para a raiz quadrada ser válida, o logaritmo precisa ser maior ou igual a zero:
log6 ( 1 - 2xx + 3 ) >= 0
Lembrando que log6(y) >= 0 quando y >= 1 (pois 6^0 = 1 ).

Passo 7

Então, precisamos que:
1 - 2xx + 3 >= 1
Vamos resolver essa desigualdade:
1 - 2xx + 3 - 1 >= 0 Rightarrow 1 - 2x - (x + 3)x + 3 >= 0 Rightarrow -3x - 2x + 3 >= 0

Passo 8

Agora, resolvemos -3x - 2x + 3 >= 0 . Colocando os sinais:
  • O numerador -3x - 2 = 0 x = -23
  • O denominador x + 3 = 0 x = -3
Dividimos a reta numérica nos intervalos:
  1. x < -3
  2. -3 < x < -23
  3. x > -23
Analisando os sinais:
  1. x < -3 :
    • Numerador: positivo
    • Denominador: negativo
    • Resultado: negativo
  2. -3 < x < -23 :
    • Numerador: positivo
    • Denominador: positivo
    • Resultado: positivo
  3. x > -23 :
    • Numerador: negativo
    • Denominador: positivo
    • Resultado: negativo
Então, a desigualdade -3x - 2x + 3 >= 0 é satisfeita para -3 < x <= -23 .

Passo 9

Agora, precisamos combinar as condições que encontramos:
  1. -3 < x < 12 (para o logaritmo ser positivo)
  2. -3 < x <= -23 (para o logaritmo ser maior ou igual a 1)
A interseção dessas condições é -3 < x <= -23 .

Resposta

O domínio de definição da função f(x) = raizlog6 ( 1 - 2xx + 3 ) é:
-3 < x <= -23

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