Encontre o domínio e esboce o gráfico da função.
H(x)=4-x^22-x

Passo 1

O enunciado pede o domínio e o esboço do gráfico da função racional
H(x)=4 - x^22 - x
O conteúdo principal aqui é análise de funções racionais: determinar onde o denominador zera (domínio), fatorar polinômios para simplificar e identificar que tipo de descontinuidade aparece, depois desenhar o gráfico resultante.

Passo 2

Para achar o domínio, identificamos onde o denominador se anula.
O denominador é 2 - x, que vale zero quando
2 - x = 0 Longrightarrow x = 2
Logo, a função está indefinida em x=2.
Portanto, o domínio é
xinRmid xneq 2 ou Rsetminus2

Passo 3

Agora vamos simplificar H(x). Note que o numerador é uma diferença de quadrados:
4 - x^2 = (2 - x)(2 + x)
Substituindo em H(x) e cancelando 2 - x (válido para xneq2):
H(x) = (2 - x)(2 + x)2 - x = 2 + x, xneq 2
Isso mostra que, para xneq2, H(x) coincide com a reta y = x + 2, mas em x=2 há uma descontinuidade removível (furo).

Passo 4

Para esboçar o gráfico:
  1. Desenhe a reta y = x + 2
  2. Marque um ponto aberto (furo) em x=2. O valor que a reta teria ali é y(2) = 2 + 2 = 4, então coloque um círculo aberto em (2,4), indicando que H(2) não existe.
  3. Não há outros buracos nem assíntotas: é só a reta com um único furo em (2,4).

Resposta

Domínio: Rsetminus2.
Gráfico: reta y = x + 2 com um ponto aberto em (2,4).

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