Encontre o domínio e esboce o gráfico da função.
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1-x^{2}, & \text { se } x \leq 2 \\\\ 2 x-7, & \text { se } x>2\end{array}\right..\

Passo 1

O enunciado dá uma função por partes
f(x)= \begin{cases} 1 - x^{2}, & \text{se }x \le 2,\\\\ 2x - 7, & \text{se }x > 2, \end{cases}
e pede (a) o domínio e (b) o esboço do gráfico. Vamos usar conhecimento de funções polinomiais e união de intervalos para resolver.

Passo 2

Para achar o domínio, verificamos onde cada ramo está definido.
– O polinômio 1 - x^{2} está definido para todo x\in\mathbb{R}.
– O polinômio 2x - 7 também está definido para todo x\in\mathbb{R}.
Como o primeiro vale em x\le2 e o segundo em x>2, o domínio é a união dos intervalos (-\infty,2] e (2,\infty), ou seja \mathbb{R}.

Passo 3

Agora vamos detalhar o esboço do primeiro ramo, para x\le2.
A função é
y = 1 - x^{2},
que é uma parábola com concavidade para baixo e vértice em (0,1). Para x=2 temos
y = 1 - 2^{2} = -3,
e como x=2 pertence a esse ramo ( x\le2), o ponto (2,-3) é cheio (ponto fechado) no gráfico.

Passo 4

Em seguida, o segundo ramo, para x>2, é a reta
y = 2x - 7.
Sua inclinação é 2 e o coeficiente linear é -7. Para x=2 esta reta atinge
y = 2\cdot2 - 7 = -3,
mas como o domínio desse ramo é x>2, em x=2 temos um ponto aberto em (2,-3). Para x\to+\infty, a reta cresce indefinidamente.

Passo 5

Juntando os dois ramos, o gráfico fica assim:
– Uma parábola y=1-x^{2} desenhada para todo x\le2, com vértice em (0,1) e ponto fechado em (2,-3).
– A partir de x=2, uma reta de inclinação 2 e intercepto -7, desenhada para x>2, com ponto aberto em (2,-3).

Resposta

O domínio de f é \mathbb{R}.
O gráfico é a união da parábola y=1-x^{2} para x\le2 (com ponto fechado em (2,-3)) e da reta y=2x-7 para x>2 (com ponto aberto em (2,-3)).

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