Encontre o domínio e faça o gráfico das funções abaixo.
g(x)=x^{2}-6 x+8

Passo 1

O enunciado pede o domínio e o gráfico da função quadrática
g(x)=x^{2}-6x+8.
Como é um polinômio de segundo grau, veremos que o domínio é todos os reais e, para o gráfico, basta identificar concavidade, raízes, vértice e intercepto em y.

Passo 2

Determinar o domínio de g.
Todo polinômio está definido para qualquer x\in\mathbb{R}.
Portanto,
\text{Domínio}(g)=\mathbb{R}.í

Passo 3

Encontrar as raízes (interceptos em x) e o intercepto em y.
Resolvendo
x^{2}-6x+8=0
fatoramos
x^{2}-6x+8=(x-2)(x-4)=0
logo as raízes são
x=2\quad\text{e}\quad x=4,
isto é, pontos (2,0) e (4,0).
Para o intercepto em y, calcule g(0):
g(0)=0^{2}-6\cdot0+8=8,
resultado no ponto (0,8).

Passo 4

Calcular o vértice e a concavidade.
Para a parábola ax^{2}+bx+c com a=1 e b=-6, o eixo de simetria é dado por
x_{v}=-\frac{b}{2a}=\frac{6}{2}=3.
O valor mínimo é
g(3)=3^{2}-6\cdot3+8=9-18+8=-1,
logo o vértice é o ponto (3,-1). Como a=1>0, a concavidade é voltada para cima.

Passo 5

Descrever o esboço do gráfico.
  • A parábola abre para cima.
  • Corta o eixo x em (2,0) e (4,0).
  • Corta o eixo y em (0,8).
  • Tem vértice em (3,-1).
Com esses pontos marcados, basta unir suavemente para obter o gráfico de g.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}.
Gráfico: parábola de concavidade para cima, com raízes em (2,0) e (4,0), intercepto em y em (0,8) e vértice em (3,-1).

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