Esboce o gráfico das funções abaixo:
f(x)=\left\{\begin{array}{lll}4-x^{2} & \text { se } & x \leq 1 \\\ x^{2}+2 x & \text { se } & x>1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= \begin{cases} 4 - x^{2}, & x \le 1,\\\ x^{2} + 2x, & x > 1. \end{cases}
O conteúdo é esboço de gráfico de funções polinomiais (parábolas) em domínios distintos. Para resolver, vamos analisar cada ramo separadamente: forma da parábola, vértice, interceptos e o ponto em x=1, marcando se é aberto ou fechado.

Passo 2

Ramo para x \le 1:
A função é
f_{1}(x)=4 - x^{2},
que é uma parábola voltada para baixo com vértice em (0,4). Os zeros ocorrem em x=\pm2. Como só vale até x=1, traçamos essa parábola desde x\to -\infty até x=1. Em x=1 temos
f_{1}(1)=4 - 1^{2}=3,
marcando um ponto cheio em (1,3).

Passo 3

Ramo para x>1:
A função é
f_{2}(x)=x^{2}+2x,
parábola voltada para cima com vértice em \bigl(-1,-1\bigr), porém esse vértice fica fora do nosso domínio (1,\infty). Em x\to1^{+} vale
f_{2}(1)=1^{2}+2\cdot1=3,
portanto iniciamos o gráfico neste nível, marcando um ponto aberto em (1,3). Para x>1 o ramo cresce; por exemplo, em x=2 temos f_{2}(2)=4+4=8.

Passo 4

Conectando os dois ramos em x=1, notamos que
\lim_{x\to1^-}f(x)=3,\quad \lim_{x\to1^+}f(x)=3,\quad f(1)=3,
ou seja, a função é contínua em x=1, mas por definição usamos o ponto cheio para o primeiro ramo e o ponto aberto para o segundo.

Resposta

Esboce a parábola 4-x^{2} para x\le1, encerrando-a num ponto cheio em (1,3), e esboce a parábola x^{2}+2x para x>1, começando-a num ponto aberto em (1,3) e fazendo-a crescer para a direita.

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