Esboce o gráfico das funções abaixo:
f(x)=\left\{\begin{array}{lll}x^{2} & \text { se } & 0 \leq x \leq 2 \\\\ 2-x & \text { se } & 2<x \leq 4\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função por partes
f(x)= \begin{cases} x^{2},&0\le x\le 2,\\\\ 2 - x,&2<x\le 4. \end{cases}
O conteúdo é análise de função por partes e precisamos:
  1. identificar domínio e intervalos de cada ramo;
  2. calcular pontos-chave em cada ramo;
  3. entender a forma (curva ou reta) de cada parte;
  4. marcar pontos fechados e abertos;
  5. desenhar o esboço combinando os dois ramos.

Passo 2

Ramo 1: x^{2} em [0,2].
  • Domínio desse ramo: 0\le x\le 2.
  • É uma parábola crescente e convexa.
  • Pontos-chave:
    \,f(0)=0^{2}=0,
    \,f(1)=1,
    \,f(2)=4.
  • Em x=0 e x=2 o ponto é incluído (círculo cheio).

Passo 3

Ramo 2: 2 - x em (2,4].
  • Domínio desse ramo: 2< x\le 4.
  • É uma reta decrescente de coeficiente angular -1.
  • Limite quando x\to2^{+}:
\lim_{x\to2^{+}}(2-x)=0,
mas em x=2 esse ramo não está definido (círculo aberto em (2,0)).
  • Em x=4:
f(4)=2-4=-2
e o ponto (4,-2) está incluído (círculo cheio).

Passo 4

Como esboçar:
  1. Desenhe eixos x e y.
  2. Trace a parábola y=x^2 de x=0 (ponto (0,0)) até x=2 (ponto (2,4)), marcando ambos com círculos cheios.
  3. A partir de x=2, marque um círculo aberto em (2,0).
  4. Desenhe a reta que vai de perto de (2,0) até (4,-2), marcando (4,-2) com círculo cheio.
  5. Verifique continuidade: há um “salto” em x=2 de 4 para 0.

Resposta

O gráfico é composto por:
– Uma parábola y=x^2 para 0\le x\le2, com pontos (0,0) e (2,4) incluídos.
– Um segmento de reta y=2-x para 2<x\le4, com círculo aberto em (2,0) e ponto fechado em (4,-2).

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