Encontre o domínio da função
Passo 1
O enunciado pede: "Encontre o domínio da função
".
Informações dadas: a função é a raiz cúbica (índice ) do radicando
, onde
é a variável real que queremos permitir. A tarefa é determinar todos os valores de
para os quais
está bem definida como número real.
Informações dadas: a função é a raiz cúbica (índice
Passo 2
O que significa “domínio” aqui?
Domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a expressão que define a função produz um número real bem definido. Em outras palavras, queremos todos os
tais que a operação
faça sentido em
.
Domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
Passo 3
Entendendo a raiz
:
- O número
é o índice da raiz. Aqui . - O “radicando” é a expressão dentro da raiz; aqui o radicando é
.
Regra importante (que você deve decorar para provas): - Se
é par (por exemplo — raiz quadrada), então o radicando precisa ser maior ou igual a zero para que a raiz seja real: isto é, precisamos de radicando . Ex.: está bem, mas não é real. - Se
é ímpar (por exemplo — raiz cúbica), então qualquer número real pode ser raiz: tanto positivos quanto negativos e zero têm raiz ímpar real. Ex.: .
Passo 4
Aplicando ao nosso caso: o índice é
, que é ímpar. Então, em princípio, não há restrição de sinal sobre o radicando
; ele pode ser qualquer número real e ainda teremos uma raiz cúbica real.
Além disso, o radicando é uma expressão linear em
. Uma expressão linear produz um número real para qualquer
. Formalmente: para todo
temos
. Não há divisão por zero, logaritmo, ou outra operação que imponha restrição aqui — só uma combinação linear.
Além disso, o radicando
Passo 5
Portanto, juntando os dois fatos (índice ímpar permite qualquer radicando real;
é real para todo
), concluímos que não há restrição sobre
.