Encontre o domínio da função
f(x)=\sqrt[3]{3 x-1}

Passo 1

O enunciado pede: "Encontre o domínio da função f(x)=\sqrt[3]{3 x-1}".
Informações dadas: a função é a raiz cúbica (índice 3) do radicando 3x-1, onde x é a variável real que queremos permitir. A tarefa é determinar todos os valores de x para os quais f(x) está bem definida como número real.

Passo 2

O que significa “domínio” aqui?
Domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de x para os quais a expressão que define a função produz um número real bem definido. Em outras palavras, queremos todos os x\in\mathbb{R} tais que a operação \sqrt[3]{3x-1} faça sentido em \mathbb{R}.

Passo 3

Entendendo a raiz \sqrt[n]{\cdot}:
  • O número n é o índice da raiz. Aqui n=3.
  • O “radicando” é a expressão dentro da raiz; aqui o radicando é 3x-1.
    Regra importante (que você deve decorar para provas):
  • Se n é par (por exemplo 2 — raiz quadrada), então o radicando precisa ser maior ou igual a zero para que a raiz seja real: isto é, precisamos de radicando \ge 0. Ex.: \sqrt{4}=2 está bem, mas \sqrt{-1} não é real.
  • Se n é ímpar (por exemplo 3 — raiz cúbica), então qualquer número real pode ser raiz: tanto positivos quanto negativos e zero têm raiz ímpar real. Ex.: \sqrt[3]{-8}=-2.

Passo 4

Aplicando ao nosso caso: o índice é 3, que é ímpar. Então, em princípio, não há restrição de sinal sobre o radicando 3x-1; ele pode ser qualquer número real e ainda teremos uma raiz cúbica real.
Além disso, o radicando 3x-1 é uma expressão linear em x. Uma expressão linear produz um número real para qualquer x\in\mathbb{R}. Formalmente: para todo x\in\mathbb{R} temos 3x-1\in\mathbb{R}. Não há divisão por zero, logaritmo, ou outra operação que imponha restrição aqui — só uma combinação linear.

Passo 5

Portanto, juntando os dois fatos (índice ímpar permite qualquer radicando real; 3x-1 é real para todo x\in\mathbb{R}), concluímos que não há restrição sobre x.

Resposta

\mathbb{R}

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