Faça em uma mesma tela os gráficos das funções dadas. Com que essas funções estão relacionadas?
Passo 1
O enunciado pede que eu faça, numa mesma tela, os gráficos das funções
e que eu identifique com que essas funções estão relacionadas. As informações dadas são justamente as quatro fórmulas acima. Não há outras informações nem figuras fornecidas.
Passo 2
Entender bem a função básica
antes de desenhar: domínio, imagem, assíntota, pontos-chave e comportamento. Vou explicar cada item devagarinho.
- Domínio: toda a reta real, isto é
. Uma exponencial aceita qualquer . - Imagem (alcance):
, isto é . Exponenciais positivas nunca são zero nem negativas. - Assíntota horizontal: a reta
(o eixo ). À medida que , . - Intercepto no eixo
: para , temos , então passa por . - Comportamento: é crescente. Quando
aumenta, cresce muito rápido.
Exemplos de pontos fáceis para esboçar:
Anote esses pontos no plano e desenhe uma curva suave que passa por eles, ficando muito próxima de
para
negativos grandes e subindo rápido para
positivos.
Passo 3
Agora a função
. Vou deduzir suas características a partir de
— isso é a chave para entender as relações.
- Álgebra simples:
. É a exponencial original multiplicada por . - Geometria: multiplicar por
reflete o gráfico em relação ao eixo . Ou seja, cada ponto de vira . - Domínio: ainda
. - Imagem: agora
, porque todos os valores positivos viraram negativos. - Assíntota: continua
, mas a curva se aproxima de por baixo (valores negativos). - Pontos-chave (negativos dos anteriores):
Para desenhar na mesma tela, pegue o gráfico de
e “espelhe” verticalmente.
Passo 4
Agora
. Vou transformar mentalmente
trocando
por
e explicar o que isso faz.
- Álgebra:
. Duas maneiras de ver: (i) substituir por ou (ii) escrever como inverso multiplicativo. - Geometria: substituir
por corresponde a refletir o gráfico em relação ao eixo . Se , então é espelhada no eixo . - Domínio:
. - Imagem:
(positiva). - Comportamento: é decrescente (ao contrário de
), porque aplicar inverte a direção de crescimento. - Pontos-chave:
No desenho: pegue o gráfico de
e espelhe horizontalmente (troque cada
por
).
Passo 5
Finalmente
. Combino as ideias dos passos anteriores.
- Álgebra:
. - Geometria: é a composição de duas reflexões: primeiro refletir
no eixo (dá ), depois refletir no eixo (multiplicar por ). Equivalente a refletir em ambos os eixos ou, geometricamente, rotacionar em torno da origem. - Domínio:
. - Imagem:
. - Pontos-chave:
Para desenhar: pegue
, faça espelho no eixo
e depois no eixo
(ou vice-versa).
Passo 6
Resumo das relações geométricas entre as quatro curvas (modo prático para a prova):
-
: curva base, crescente, passa por , assíntota . -
: reflexão de em relação ao eixo . (Cada vira .) -
: reflexão de em relação ao eixo . (Cada vira .) -
: reflexão de em relação ao eixo e depois em relação ao eixo (ou reflexão em ambos os eixos / rotação de da curva original).
Passo 7
Receita prática e rápida para desenhar tudo numa mesma tela (passo a passo que você pode reproduzir numa prova sem calculadora):
- Desenhe eixos
e . Marque a assíntota horizontal . - Esboce
usando pontos . Curva crescente, perto de zero para . - Para
, pegue os mesmos e coloque os com sinal trocado: . Desenhe espelho vertical. - Para
, pegue os pontos de e inverta as abscissas: . Desenhe espelho horizontal. - Para
, negue os do passo anterior: . Desenhe o espelho horizontal seguido do vertical. - Identifique visualmente: as duas curvas positivas (
e ) ficam acima do eixo ; as duas negativas ficam abaixo.
Passo 8
Observações finais úteis para a prova (resumidas e memorizáveis):
- Todas têm domínio
e assíntota . - Existem dois tipos de imagem: positivas
para e , e negativas para as versões com sinal . - Transformações básicas que aparecem frequentemente em provas: multiplicar por
= reflexo no eixo ; substituir por = reflexo no eixo . Compor essas transformações gera as quatro curvas pedidas.