Faça em uma mesma tela os gráficos das funções dadas. Com que essas funções estão relacionadas?
y=3^{x}, \quad y=-3^{x}, \quad y=3^{-x}, \quad y=-3^{-x}

Passo 1

O enunciado pede que eu faça, numa mesma tela, os gráficos das funções
y=3^{x},\qquad y=-3^{x},\qquad y=3^{-x},\qquad y=-3^{-x}
e que eu identifique com que essas funções estão relacionadas. As informações dadas são justamente as quatro fórmulas acima. Não há outras informações nem figuras fornecidas.

Passo 2

Entender bem a função básica \,y=3^{x}\, antes de desenhar: domínio, imagem, assíntota, pontos-chave e comportamento. Vou explicar cada item devagarinho.
  • Domínio: toda a reta real, isto é \,x\in(-\infty,\infty)\,. Uma exponencial aceita qualquer x.
  • Imagem (alcance): \,y>0\,, isto é (0,\infty). Exponenciais positivas nunca são zero nem negativas.
  • Assíntota horizontal: a reta y=0 (o eixo x). À medida que x\to -\infty, 3^{x}\to0^{+}.
  • Intercepto no eixo y: para x=0, temos \,3^{0}=1, então passa por (0,1).
  • Comportamento: é crescente. Quando x aumenta, 3^{x} cresce muito rápido.
Exemplos de pontos fáceis para esboçar:
( -1,\,3^{-1}=1/3 ),\qquad (0,\,1),\qquad (1,\,3),\qquad (2,\,9).
Anote esses pontos no plano e desenhe uma curva suave que passa por eles, ficando muito próxima de y=0 para x negativos grandes e subindo rápido para x positivos.

Passo 3

Agora a função \,y=-3^{x}\,. Vou deduzir suas características a partir de y=3^{x} — isso é a chave para entender as relações.
  • Álgebra simples: \,y=-3^{x} = -\bigl(3^{x}\bigr). É a exponencial original multiplicada por -1.
  • Geometria: multiplicar por -1 reflete o gráfico em relação ao eixo x. Ou seja, cada ponto (x,y) de y=3^{x} vira (x,-y).
  • Domínio: ainda (-\infty,\infty).
  • Imagem: agora (-\infty,0), porque todos os valores positivos viraram negativos.
  • Assíntota: continua y=0, mas a curva se aproxima de y=0 por baixo (valores negativos).
  • Pontos-chave (negativos dos anteriores):
(-1,\,-1/3),\qquad (0,-1),\qquad (1,-3),\qquad (2,-9).
Para desenhar na mesma tela, pegue o gráfico de y=3^{x} e “espelhe” verticalmente.

Passo 4

Agora \,y=3^{-x}\,. Vou transformar mentalmente y=3^{x} trocando x por -x e explicar o que isso faz.
  • Álgebra: \,3^{-x} = \bigl(3^{x}\bigr)^{-1} = 1/3^{x}. Duas maneiras de ver: (i) substituir x por -x ou (ii) escrever como inverso multiplicativo.
  • Geometria: substituir x por -x corresponde a refletir o gráfico em relação ao eixo y. Se f(x)=3^{x}, então g(x)=f(-x) é f espelhada no eixo y.
  • Domínio: (-\infty,\infty).
  • Imagem: (0,\infty) (positiva).
  • Comportamento: é decrescente (ao contrário de 3^{x}), porque aplicar x\mapsto -x inverte a direção de crescimento.
  • Pontos-chave:
(-2,\,9),\qquad (-1,\,3),\qquad (0,\,1),\qquad (1,\,1/3).
No desenho: pegue o gráfico de y=3^{x} e espelhe horizontalmente (troque cada (x,y) por (-x,y)).

Passo 5

Finalmente \,y=-3^{-x}\,. Combino as ideias dos passos anteriores.
  • Álgebra: \,-3^{-x} = -\bigl(3^{-x}\bigr) = -\bigl(3^{x}\bigr)^{-1}.
  • Geometria: é a composição de duas reflexões: primeiro refletir y=3^{x} no eixo y (dá 3^{-x}), depois refletir no eixo x (multiplicar por -1). Equivalente a refletir em ambos os eixos ou, geometricamente, rotacionar 180^\circ em torno da origem.
  • Domínio: (-\infty,\infty).
  • Imagem: (-\infty,0).
  • Pontos-chave:
(-1,\,-3),\qquad (0,-1),\qquad (1,-1/3),\qquad (2,-1/9).
Para desenhar: pegue y=3^{x}, faça espelho no eixo y e depois no eixo x (ou vice-versa).

Passo 6

Resumo das relações geométricas entre as quatro curvas (modo prático para a prova):
  • y=3^{x}: curva base, crescente, passa por (0,1), assíntota y=0.
  • y=-3^{x}: reflexão de y=3^{x} em relação ao eixo x. (Cada (x,y) vira (x,-y).)
  • y=3^{-x}: reflexão de y=3^{x} em relação ao eixo y. (Cada (x,y) vira (-x,y).)
  • y=-3^{-x}: reflexão de y=3^{x} em relação ao eixo y e depois em relação ao eixo x (ou reflexão em ambos os eixos / rotação de 180^\circ da curva original).

Passo 7

Receita prática e rápida para desenhar tudo numa mesma tela (passo a passo que você pode reproduzir numa prova sem calculadora):
  1. Desenhe eixos x e y. Marque a assíntota horizontal y=0.
  2. Esboce y=3^{x} usando pontos (-1,1/3),(0,1),(1,3),(2,9). Curva crescente, perto de zero para x\ll0.
  3. Para y=-3^{x}, pegue os mesmos x e coloque os y com sinal trocado: (-1,-1/3),(0,-1),(1,-3). Desenhe espelho vertical.
  4. Para y=3^{-x}, pegue os pontos de y=3^{x} e inverta as abscissas: (-2,9),(-1,3),(0,1),(1,1/3). Desenhe espelho horizontal.
  5. Para y=-3^{-x}, negue os y do passo anterior: (-2,-9),(-1,-3),(0,-1),(1,-1/3). Desenhe o espelho horizontal seguido do vertical.
  6. Identifique visualmente: as duas curvas positivas ( 3^{x} e 3^{-x}) ficam acima do eixo x; as duas negativas ficam abaixo.

Passo 8

Observações finais úteis para a prova (resumidas e memorizáveis):
  • Todas têm domínio (-\infty,\infty) e assíntota y=0.
  • Existem dois tipos de imagem: positivas (0,\infty) para 3^{x} e 3^{-x}, e negativas (-\infty,0) para as versões com sinal -.
  • Transformações básicas que aparecem frequentemente em provas: multiplicar por -1 = reflexo no eixo x; substituir x por -x = reflexo no eixo y. Compor essas transformações gera as quatro curvas pedidas.

Resposta

y=-3^{x} é a reflexão de y=3^{x} em relação ao eixo x.\n y=3^{-x} é a reflexão de y=3^{x} em relação ao eixo y.\n y=-3^{-x} é a reflexão de y=3^{x} em relação aos dois eixos (equivalente a rotação de 180^\circ em torno da origem).

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