Resolva a equação.
\left|x^{2}+5 x+2\right|=4

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação \left|x^{2}+5x+2\right|=4.
Informações dadas: a expressão dentro do valor absoluto é o polinômio \,x^{2}+5x+2, e o valor absoluto deve ser igual a \,4.
Pergunta: encontrar todos os valores reais de x que satisfazem essa igualdade.

Passo 2

Entendendo a propriedade do valor absoluto que vamos usar: para qualquer expressão A e número não-negativo b, a equação \left|A\right|=b é equivalente às duas equações
A=b
ou
A=-b.
Aqui b=4 (que é não-negativo), então podemos dividir o problema em dois casos:
\text{Caso 1: }x^{2}+5x+2=4
\text{Caso 2: }x^{2}+5x+2=-4

Passo 3

Vamos resolver o Caso 1. Primeiro colocamos em forma padrão (tudo à esquerda):
x^{2}+5x+2=4 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}+5x-2=0.
Isto é uma equação quadrática do tipo \,ax^{2}+bx+c=0, com a=1, b=5, c=-2. Para resolver uma quadrática usamos a fórmula:
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},
onde \,b^{2}-4ac é o discriminante (indica se há raízes reais e quantas). Aqui calculamos o discriminante:
\Delta=b^{2}-4ac=5^{2}-4\cdot1\cdot(-2)=25+8=33.
Como \Delta>0, há duas raízes reais distintas. Aplicando a fórmula:
x=\frac{-5\pm\sqrt{33}}{2}.
Portanto, do Caso 1 obtemos as duas soluções \displaystyle x=\frac{-5-\sqrt{33}}{2} e \displaystyle x=\frac{-5+\sqrt{33}}{2}.

Passo 4

Agora o Caso 2. Colocamos em forma padrão:
x^{2}+5x+2=-4 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}+5x+6=0.
Novamente é uma quadrática com a=1, b=5, c=6. Calculamos o discriminante:
\Delta=b^{2}-4ac=5^{2}-4\cdot1\cdot6=25-24=1.
Como \Delta=1>0, temos duas raízes reais distintas (e fáceis de calcular). Usando a fórmula:
x=\frac{-5\pm\sqrt{1}}{2}=\frac{-5\pm1}{2}.
Isso dá as raízes
x=\frac{-5-1}{2}=-3
e
x=\frac{-5+1}{2}=-2.

Passo 5

Juntando as soluções de ambos os casos, o conjunto de soluções da equação original é formado por quatro números: \displaystyle \frac{-5-\sqrt{33}}{2}, \displaystyle \frac{-5+\sqrt{33}}{2}, -3 e -2.
Rápida verificação mental: as duas soluções do Caso 1 satisfazem x^{2}+5x+2=4 (portanto o valor absoluto vale 4) e as do Caso 2 satisfazem x^{2}+5x+2=-4 (valor absoluto também 4), então todas são válidas.

Resposta

\displaystyle \frac{-5-\sqrt{33}}{2}
\displaystyle -3
\displaystyle -2
\displaystyle \frac{-5+\sqrt{33}}{2}

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