1^{\underline{a}}\) Questão ( \(\mathbf{2 , 0} \mathbf{~ p t s}\) ) Considere a função \(f: D \rightarrow \mathbb{R}\) dada por
\[f(x, y)= \begin{cases}\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{cases}
(a)
(0,5)\] Descreva \(D.
R.
D=\mathbb{R}^{2}
(b)
(1,5) f é contínua em
D ? Justifique.
R. Por ser quociente de funções contínuas,
f é contínua em
\mathbb{R}^{2}-\{(0,0)\}. Para que
f seja contínua em
(0,0) é preciso que
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)=0
Para
(x, y) \neq(0,0), podemos escrever
f(x, y) como o produto de uma função cujo limite é igual a zero quando
(x, y) tende a
(0,0), por uma função limitada
f(x, y)=|x| \cdot \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}} \quad \text { onde } \quad 0 \leq \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}} \leq 1
Portanto
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=0=f(0,0)
e
f é contínua em
(0,0). Portanto
f é contínua em
D.