Reduza as equações à equações homogêneas ou variáveis separáveis e resolva-as:
(3 x-y+2) d x=(-9 x+3 y-1) d y.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
(3x - y + 2)\,dx = (-9x + 3y - 1)\,dy
e pede para reduzi-la a uma equação homogênea ou de variáveis separáveis e, então, resolvê-la. O conteúdo envolve técnicas de primeira ordem: vamos buscar uma substituição que torne a equação separável.

Passo 2

Escrevendo em forma de derivada
\frac{dx}{dy} = \frac{-9x + 3y - 1}{3x - y + 2}.
Note que as partes lineares -9x+3y e 3x-y são proporcionais (fator -3), o que sugere definir uma combinação linear que simplifique essa fração.

Passo 3

Definimos
t = 3x - y.
Então
dt = 3\,dx - dy \quad\Longrightarrow\quad \frac{dt}{dy} = 3\,\frac{dx}{dy} - 1.
Como \frac{dx}{dy} = \frac{-9x + 3y -1}{3x - y +2} = \frac{-3(3x - y)-1}{t+2} = \frac{-3t-1}{t+2}, segue
\frac{dt}{dy} = 3\cdot\frac{-3t-1}{t+2} -1 = \frac{-9t -3 - (t+2)}{t+2} = \frac{-10t -5}{t+2} = -5\,\frac{2t+1}{t+2}.
Agora temos uma equação separável em t e y.

Passo 4

Separamos variáveis:
\frac{t+2}{2t+1}\,dt = -5\,dy.
Integramos ambos os lados:
\int \frac{t+2}{2t+1}\,dt = \int -5\,dy.
Para o lado esquerdo, fazemos a divisão:
\frac{t+2}{2t+1} = \frac12 + \frac{3/2}{2t+1},
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\int \frac{t+2}{2t+1}\,dt = \int \!\frac12\,dt + \int \!\frac{3/2}{2t+1}\,dt = \frac{t}{2} + \frac{3}{4}\ln\bigl|2t+1\bigr| + C_1.
No lado direito,
\int -5\,dy = -5y + C_2.
Igualando (absorvendo C_1-C_2 em uma constante C):
\frac{t}{2} + \frac{3}{4}\ln\bigl|2t+1\bigr| = -5y + C.

Passo 5

Voltando à variável original t = 3x - y,
\frac{3x - y}{2} + \frac{3}{4}\ln\bigl|2(3x - y)+1\bigr| = -5y + C.
Multiplicando tudo por 4 e reorganizando:
2(3x - y) + 3\ln\bigl|6x - 2y + 1\bigr| = -20y + C' \quad\Longrightarrow\quad 6x - 2y + 3\ln\bigl|6x - 2y + 1\bigr| +20y = C'.
Podemos dividir por 3 e reunir constantes:
2x + 6y + \ln\bigl|6x - 2y + 1\bigr| = C''.

Resposta

A solução geral é dada implicitamente por
2x + 6y + \ln\bigl|6x - 2y + 1\bigr| = C,
onde C é constante arbitrária.

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