1^{\underline{a}}\) Questão ( \(\mathbf{2 , 0} \mathbf{~ p t s}\) ) Considere a função \(f: D \rightarrow \mathbb{R}\) dada por \[f(x, y)= \begin{cases}\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{cases}
(a) (0,5)\] Descreva \(D.
R. D=\mathbb{R}^{2}
(b) (1,5) f é contínua em D ? Justifique.
R. Por ser quociente de funções contínuas, f é contínua em \mathbb{R}^{2}-\{(0,0)\}. Para que f seja contínua em (0,0) é preciso que
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)=0
Para (x, y) \neq(0,0), podemos escrever f(x, y) como o produto de uma função cujo limite é igual a zero quando (x, y) tende a (0,0), por uma função limitada
f(x, y)=|x| \cdot \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}} \quad \text { onde } \quad 0 \leq \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}} \leq 1
Portanto
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=0=f(0,0)
e f é contínua em (0,0). Portanto f é contínua em D.

Passo 1

O enunciado define a função f\colon D\to\mathbb{R}\) por \[f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},&\text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0,&\text{se }(x,y)=(0,0). \end{cases}
Pede-se (a) descrever o conjunto D\] e (b) verificar se \(f é contínua em D. Vamos usar conceitos de domínio de função de duas variáveis, propriedades de quociente de funções contínuas e o Teorema do Confronto para mostrar continuidade no ponto (0,0).]

Passo 2

Para que \dfrac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} esteja bem definida é preciso \sqrt{x^{2}+y^{2}}\neq0, isto é, (x,y)\neq(0,0). Mas o enunciado já define f(0,0)=0. Logo o domínio natural é
D=\mathbb{R}^{2}.

Passo 3

Se (x,y)\neq(0,0), então \sqrt{x^{2}+y^{2}}>0 e tanto a função (x,y)\mapsto x^{2} quanto (x,y)\mapsto \sqrt{x^{2}+y^{2}} são contínuas em \mathbb{R}^{2}. O quociente dessas duas funções com denominador não nulo é contínuo em \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}. Portanto f é contínua em todos os pontos (x,y)\neq(0,0).

Passo 4

Falta checar continuidade em (0,0). Precisamos mostrar
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=f(0,0)=0.
Para (x,y)\neq(0,0) escrevemos
f(x,y) =\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} =|x|\;\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}.
Como
0\le \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}\le 1 \quad\Longrightarrow\quad 0\le \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}\le1,
segue
\bigl|f(x,y)\bigr| \le |x|.
Mas \lim_{(x,y)\to(0,0)}|x|=0. Pelo Teorema do Confronto,
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0=f(0,0),
logo f é contínua em (0,0).

Resposta

(a) D=\mathbb{R}^{2}.\n(b) f é contínua em todo D.

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