Questāo 3 (2 pts) Calcule \int_{0}^{\infty} x^{2} e^{-x^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{0}^{\infty} x^{2}e^{-x^{3}}\,dx.
O conteúdo aqui é transformação de variáveis em integrais impróprias, levando a uma forma de integral de função exponencial que pode ser avaliada facilmente.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = x^{3},
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dt = 3x^{2}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{2}\,dx = \frac{dt}{3}.

Passo 3

Quando x varia de 0 até \infty, t também varia de 0 até \infty. Substituindo na integral, obtemos
\int_{0}^{\infty} x^{2}e^{-x^{3}}\,dx = \int_{0}^{\infty} e^{-t}\,\frac{dt}{3} = \frac{1}{3}\int_{0}^{\infty} e^{-t}\,dt.

Passo 4

A integral
\int_{0}^{\infty} e^{-t}\,dt
é igual a 1 (é a integral da função de densidade do exponencial com parâmetro 1). Portanto
\frac{1}{3}\int_{0}^{\infty} e^{-t}\,dt = \frac{1}{3}\cdot 1 = \frac{1}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}

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