Encontre o domínio das funções a seguir:
f(t)=\sqrt[3]{1-\sqrt{|t|-3}}

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função
f(t)=\sqrt[3]{1-\sqrt{|t|-3}}.
Informações dadas:
  • A função é uma raiz cúbica (índice 3) de uma expressão que contém uma raiz quadrada \sqrt{|t|-3}.
  • A expressão interna da raiz quadrada é |t|-3.
    O que se pede: encontrar todos os valores de t\in\mathbb{R} para os quais f(t) está bem definida como número real (ou seja, o domínio real de f).

Passo 2

Regras importantes que vamos usar (explicadas com calma):
  • A raiz quadrada principal \sqrt{x} só está definida para x real com x\ge 0. Além disso, \sqrt{x}\ge 0 sempre.
  • A raiz cúbica \sqrt[3]{y} está definida para todo y\in\mathbb{R} (aceita argumentos negativos, zero e positivos). Ou seja, não impõe restrição extra além de y ser real.
  • O valor absoluto |t| satisfaz |t|\ge 0 e a desigualdade |t|\ge a equivale a t\le -a ou t\ge a quando a\ge 0.
Aplicando isso ao problema: a única restrição vem da raiz quadrada interna \sqrt{|t|-3}; precisamos garantir que o radicando |t|-3 seja maior ou igual a zero.

Passo 3

Impor a condição da raiz quadrada:
|t|-3\ge 0.
Isolando:
|t|\ge 3.

Passo 4

Resolver a desigualdade |t|\ge 3. Lembrando a equivalência para valor absoluto com a=3\ge0:
|t|\ge 3 \quad\Longleftrightarrow\quad t\le -3 \quad\text{ou}\quad t\ge 3.
Portanto os t permitidos são todos t em (-\infty,-3]\cup[3,\infty).

Passo 5

Verificação e intuição (bons para a prova):
  • Se t=3: |3|-3=0, então \sqrt{|3|-3}=0 e f(3)=\sqrt[3]{1-0}=\sqrt[3]{1}=1 — bem definido.
  • Se t=4: |4|-3=1, \sqrt{1}=1, f(4)=\sqrt[3]{1-1}=\sqrt[3]{0}=0.
  • Se t=7: |7|-3=4, \sqrt{4}=2, f(7)=\sqrt[3]{1-2}=\sqrt[3]{-1}=-1 (a raiz cúbica aceita negativo).
  • Se t=2 (fora do conjunto): |2|-3=-1 e \sqrt{-1} não é real, logo t=2 não pertence ao domínio.
    Esses exemplos mostram que a única restrição efetiva é |t|-3\ge0; a raiz cúbica não impõe mais restrições.

Resposta

(-\infty,-3]\cup[3,\infty)

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