Encontre o domínio das funções a seguir: g(x)=\sqrt{|1+x|-\left|x^{2}\right|}
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o domínio da função
g(x)=\sqrt{|1+x|-\left|x^{2}\right|}
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
A função envolve uma raiz quadrada real, portanto o radicando deve ser não negativo.
O radicando é |1+x|-\left|x^{2}\right|.
Passo 2
Observação útil sobre a expressão \left|x^{2}\right|: para todo x vale x^{2}\ge 0, logo
\left|x^{2}\right|=x^{2}.
Isso simplifica o radicando para |1+x|-x^{2}.
Passo 3
Condição de existência (domínio): o radicando deve satisfazer
|1+x|-x^{2}\ge 0.
Assim devemos resolver a desigualdade
|1+x|\ge x^{2}.
Passo 4
Resolveremos a desigualdade por casos, usando a definição de valor absoluto:
|1+x|=\begin{cases} 1+x, &\text{se }1+x\ge 0\\ (\text{ou seja }x\ge -1),\\[4pt] -(1+x)=-1-x, &\text{se }1+x<0\\ (\text{ou seja }x<-1). \end{cases}]
Passo 5
Caso 1: x\ge -1.
A desigualdade vira
1+x\ge x^{2}.
Rearranjando:
x^{2}-x-1\le 0.
Para resolver isso, calculamos as raízes do polinômio x^{2}-x-1. O discriminante é
\Delta = (-1)^{2}-4\cdot1\cdot(-1)=1+4=5.
As raízes são
x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}.
Como o coeficiente de x^{2} é positivo, a parábola abre para cima e a inequação x^{2}-x-1\le0 é satisfeita para x entre as raízes. Logo, as soluções deste caso são
Como o discriminante é negativo e o coeficiente de x^{2} é positivo, temos x^{2}+x+1>0 para todo x\in\mathbb{R}. Portanto não há solução neste caso; isto é, nenhum x<-1 satisfaz a desigualdade.
Passo 7
Juntando os casos: as únicas soluções da desigualdade |1+x|-x^{2}\ge0 são
Verificação rápida: nos extremos temos x^{2}-x-1=0, então o radicando é zero e a raiz é definida; pontos fora desse intervalo tornam o radicando negativo.