Encontre o domínio, a imagem e esboce o gráfico de:
f(x)= \begin{cases}x+2, & x<0, \\\\ 1-x, & x \geq 0 .\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)= \begin{cases}x+2, & x<0, \\[4pt] 1-x, & x \geq 0,\end{cases}
e pede três coisas:
  • Encontrar o domínio de f.
  • Encontrar a imagem (conjunto-valor) de f.
  • Esboçar o gráfico de f.
Informações relevantes fornecidas:
  • Há duas fórmulas diferentes dependendo do sinal de x: uma válida para x<0 e outra para x\ge 0.
  • Em x=0 o valor da função é dado pela segunda parte: f(0)=1-0=1.]

Passo 2

Determinar o domínio: por definição o domínio são os x para os quais a função está definida.
Cada ramo é uma função linear (polinomial de grau 1), que está definida para todos os x do respectivo intervalo:
  • o primeiro ramo x+2 está definido para todo x<0;
  • o segundo ramo 1-x está definido para todo x\ge 0.
Esses dois intervalos x<0 e x\ge 0 cobrem toda a reta real (-\infty,\infty). Portanto o domínio é
\text{Dom}(f)=\mathbb{R}.

Passo 3

Entender a imagem do primeiro ramo ( x<0, f(x)=x+2).
Propriedades úteis de uma função linear g(x)=ax+b:
  • Se o domínio é um intervalo aberto ou fechado, a imagem será um intervalo (possivelmente aberto/fechado nas extremidades) porque a função é contínua e monotona se a\neq0.
Aqui g(x)=x+2 tem coeficiente angular 1 (positiva), é crescente. Para x variando em (-\infty,0):
  • quando x\to -\infty temos x+2\to -\infty;
  • quando x\to 0^- temos x+2\to 2^- (aproxima 2 por valores menores que 2).
Portanto a imagem do primeiro ramo é o intervalo aberto à direita
(-\infty,2).

Passo 4

Entender a imagem do segundo ramo ( x\ge 0, f(x)=1-x).
Aqui h(x)=1-x tem coeficiente angular -1 (negativa), é decrescente. Para x em [0,\infty):
  • no ponto x=0 temos h(0)=1;
  • quando x\to +\infty temos 1-x\to -\infty.
Como a função é contínua e decrescente em [0,\infty), a imagem desse ramo é o intervalo
(-\infty,1].

Passo 5

Combinar as imagens dos dois ramos para obter a imagem total de f.
Temos as imagens parciais:
(-\infty,2)\quad\text{e}\quad(-\infty,1].
A união desses conjuntos é
(-\infty,2),
porque (-\infty,1]\subset(-\infty,2) e o 2 não é atingido por nenhum ramo (o ramo x+2 aproxima 2 quando x\to0^- mas não o atinge já que esse ramo não inclui x=0).
Logo a imagem (contradomínio efetivo) é
\text{Im}(f)=(-\infty,2).

Passo 6

Comentar sobre continuidade em x=0 (útil para o esboço).
Calcular limites laterais em 0:
  • Limite pela esquerda: \displaystyle\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^-}(x+2)=2.
  • Limite pela direita: \displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}(1-x)=1.
  • Valor da função em 0: f(0)=1.
Como os limites laterais são diferentes ( 2\neq1), há uma descontinuidade do tipo salto em x=0. O valor efetivo f(0) coincide com o limite pela direita.

Passo 7

Como esboçar o gráfico passo a passo (instruções para desenhar à mão, sem calculadora):
  1. Desenhe os eixos x e y.
  2. Para o ramo x<0, desenhe a reta de equação y=x+2 apenas à esquerda do eixo y (isto é, para x<0). Características úteis:
    • intercepto em y quando x=0 é y=2, mas como esse ramo não inclui x=0 deixe um círculo aberto em (0,2).
    • valores para marcar pontos: por exemplo x=-1\Rightarrow y=1, x=-2\Rightarrow y=0. Marque esses pontos e conecte por uma reta que segue indefinidamente para a esquerda.
  3. Para o ramo x\ge 0, desenhe a reta de equação y=1-x para x\ge 0. Características úteis:
    • em x=0 tem y=1. Como x=0 pertence a este ramo, represente um ponto sólido em (0,1).
    • outro ponto: x=1\Rightarrow y=0. Marque e estenda a reta para a direita até onde quiser.
  4. Observe a descontinuidade: há um salto entre (0,2) (círculo aberto) e (0,1) (ponto fechado).
  5. Opcional: marque mais alguns pontos para confirmar a forma: por exemplo em x=-\tfrac{1}{2} a primeira reta vale y=\tfrac{3}{2}; isso mostra que a parte esquerda atinge valores maiores que 1 mas nunca 2.
Resumo visual (em palavras): duas semi-rectas que se encontram verticalmente separadas no eixo y em x=0: uma subindo com inclinação +1 à esquerda (aberta em (0,2)) e outra descendo com inclinação -1 à direita (fechada em (0,1)).

Passo 8

Observações finais importantes para a prova (dicas rápidas):
  • Sempre verifique os extremos de cada ramo (limites nas fronteiras do domínio de cada ramo) para saber se os extremos estão incluídos ou não na imagem.
  • Para funções lineares em intervalos, a imagem será um intervalo; juntar imagens parciais com união dá a imagem total.
  • Para checar continuidade em pontos de troca de fórmula, calcule limites laterais e compare com o valor da função.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: (-\infty,2)
Esboço do gráfico: reta y=x+2 para x<0 (círculo aberto em (0,2)) e reta y=1-x para x\ge 0 (ponto fechado em (0,1)).

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