f(x)= \begin{cases}x+2, & x<0, \\[4pt] 1-x, & x \geq 0,\end{cases}
e pede três coisas:
Encontrar o domínio de f.
Encontrar a imagem (conjunto-valor) de f.
Esboçar o gráfico de f.
Informações relevantes fornecidas:
Há duas fórmulas diferentes dependendo do sinal de x: uma válida para x<0 e outra para x\ge 0.
Em x=0 o valor da função é dado pela segunda parte: f(0)=1-0=1.]
Passo 2
Determinar o domínio: por definição o domínio são os x para os quais a função está definida.
Cada ramo é uma função linear (polinomial de grau 1), que está definida para todos os x do respectivo intervalo:
o primeiro ramo x+2 está definido para todo x<0;
o segundo ramo 1-x está definido para todo x\ge 0.
Esses dois intervalos x<0 e x\ge 0 cobrem toda a reta real (-\infty,\infty). Portanto o domínio é
\text{Dom}(f)=\mathbb{R}.
Passo 3
Entender a imagem do primeiro ramo (x<0, f(x)=x+2).
Propriedades úteis de uma função linear g(x)=ax+b:
Se o domínio é um intervalo aberto ou fechado, a imagem será um intervalo (possivelmente aberto/fechado nas extremidades) porque a função é contínua e monotona se a\neq0.
Aqui g(x)=x+2 tem coeficiente angular 1 (positiva), é crescente. Para x variando em (-\infty,0):
quando x\to -\infty temos x+2\to -\infty;
quando x\to 0^- temos x+2\to 2^- (aproxima 2 por valores menores que 2).
Portanto a imagem do primeiro ramo é o intervalo aberto à direita
(-\infty,2).
Passo 4
Entender a imagem do segundo ramo (x\ge 0, f(x)=1-x).
Aqui h(x)=1-x tem coeficiente angular -1 (negativa), é decrescente. Para x em [0,\infty):
no ponto x=0 temos h(0)=1;
quando x\to +\infty temos 1-x\to -\infty.
Como a função é contínua e decrescente em [0,\infty), a imagem desse ramo é o intervalo
(-\infty,1].
Passo 5
Combinar as imagens dos dois ramos para obter a imagem total de f.
Temos as imagens parciais:
(-\infty,2)\quad\text{e}\quad(-\infty,1].
A união desses conjuntos é
(-\infty,2),
porque (-\infty,1]\subset(-\infty,2) e o 2 não é atingido por nenhum ramo (o ramo x+2 aproxima 2 quando x\to0^- mas não o atinge já que esse ramo não inclui x=0).
Logo a imagem (contradomínio efetivo) é
\text{Im}(f)=(-\infty,2).
Passo 6
Comentar sobre continuidade em x=0 (útil para o esboço).
Calcular limites laterais em 0:
Limite pela esquerda: \displaystyle\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^-}(x+2)=2.
Limite pela direita: \displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}(1-x)=1.
Valor da função em 0: f(0)=1.
Como os limites laterais são diferentes (2\neq1), há uma descontinuidade do tipo salto em x=0. O valor efetivo f(0) coincide com o limite pela direita.
Passo 7
Como esboçar o gráfico passo a passo (instruções para desenhar à mão, sem calculadora):
Desenhe os eixos x e y.
Para o ramo x<0, desenhe a reta de equação y=x+2 apenas à esquerda do eixo y (isto é, para x<0). Características úteis:
intercepto em y quando x=0 é y=2, mas como esse ramo não inclui x=0 deixe um círculo aberto em (0,2).
valores para marcar pontos: por exemplo x=-1\Rightarrow y=1, x=-2\Rightarrow y=0. Marque esses pontos e conecte por uma reta que segue indefinidamente para a esquerda.
Para o ramo x\ge 0, desenhe a reta de equação y=1-x para x\ge 0. Características úteis:
em x=0 tem y=1. Como x=0 pertence a este ramo, represente um ponto sólido em (0,1).
outro ponto: x=1\Rightarrow y=0. Marque e estenda a reta para a direita até onde quiser.
Observe a descontinuidade: há um salto entre (0,2) (círculo aberto) e (0,1) (ponto fechado).
Opcional: marque mais alguns pontos para confirmar a forma: por exemplo em x=-\tfrac{1}{2} a primeira reta vale y=\tfrac{3}{2}; isso mostra que a parte esquerda atinge valores maiores que 1 mas nunca 2.
Resumo visual (em palavras): duas semi-rectas que se encontram verticalmente separadas no eixo y em x=0: uma subindo com inclinação +1 à esquerda (aberta em (0,2)) e outra descendo com inclinação -1 à direita (fechada em (0,1)).
Passo 8
Observações finais importantes para a prova (dicas rápidas):
Sempre verifique os extremos de cada ramo (limites nas fronteiras do domínio de cada ramo) para saber se os extremos estão incluídos ou não na imagem.
Para funções lineares em intervalos, a imagem será um intervalo; juntar imagens parciais com união dá a imagem total.
Para checar continuidade em pontos de troca de fórmula, calcule limites laterais e compare com o valor da função.
Resposta
Domínio: \mathbb{R}
Imagem: (-\infty,2)
Esboço do gráfico: reta y=x+2 para x<0 (círculo aberto em (0,2)) e reta y=1-x para x\ge 0 (ponto fechado em (0,1)).