Mostre que o Teorema de Green é um caso particular do Teorema de Stokes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o Teorema de Green é um caso especial do Teorema de Stokes. Estamos no campo do cálculo vetorial, especificamente estudando teoremas que relacionam integrais de linha com integrais de superfície. Para resolver isso, vamos precisar entender as duas teoremas e ver como uma se encaixa na outra quando aplicadas em um contexto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele diz que a integral de um campo vetorial F sobre a borda de uma superfície S é igual à integral do rotacional de F sobre a própria superfície. Em fórmula:
ointpartial S F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
Aqui, partial S é a borda de S , n é o vetor normal à superfície, e dS é o elemento de área.

Passo 3

Agora, o Teorema de Green é essencialmente uma versão do Teorema de Stokes para o plano R^2 . Ele relaciona a integral de linha sobre uma curva fechada no plano com a integral dupla sobre a região delimitada por essa curva. A fórmula do Teorema de Green é:
ointC (P , dx + Q , dy) = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx , dy
Onde C é a curva fechada que delimita a região D , e P e Q são funções das coordenadas x e y .

Passo 4

Para mostrar que Green é um caso particular de Stokes, vamos aplicar o Teorema de Stokes no caso onde a superfície S está no plano xy . Nesse caso, o vetor normal n é k , o vetor unitário na direção z . Além disso, o rotacional nabla times F para um campo vetorial F = Pi + Qj no plano fica:
nabla times F = ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) k

Passo 5

Substituindo esses valores na fórmula de Stokes, temos:
ointC F cdot dr = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) k cdot k , dA
Simplificando k cdot k = 1 , fica:
ointC (P , dx + Q , dy) = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx , dy
Ebano! Essa é exatamente a fórmula do Teorema de Green.

Resposta

Assim, mostramos que o Teorema de Green é um caso especial do Teorema de Stokes quando a superfície considerada está no plano xy .

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