Mostre que o Teorema de Green é um caso particular do Teorema de Stokes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o Teorema de Green é um caso especial do Teorema de Stokes. Estamos no campo do cálculo vetorial, especificamente estudando teoremas que relacionam integrais de linha com integrais de superfície. Para resolver isso, vamos precisar entender as duas teoremas e ver como uma se encaixa na outra quando aplicadas em um contexto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele diz que a integral de um campo vetorial
sobre a borda de uma superfície
é igual à integral do rotacional de
sobre a própria superfície. Em fórmula:
Aqui,
é a borda de
,
é o vetor normal à superfície, e
é o elemento de área.
Passo 3
Agora, o Teorema de Green é essencialmente uma versão do Teorema de Stokes para o plano
. Ele relaciona a integral de linha sobre uma curva fechada no plano com a integral dupla sobre a região delimitada por essa curva. A fórmula do Teorema de Green é:
Onde
é a curva fechada que delimita a região
, e
e
são funções das coordenadas
e
.
Passo 4
Para mostrar que Green é um caso particular de Stokes, vamos aplicar o Teorema de Stokes no caso onde a superfície
está no plano
. Nesse caso, o vetor normal
é
, o vetor unitário na direção
. Além disso, o rotacional
para um campo vetorial
no plano fica:
Passo 5
Substituindo esses valores na fórmula de Stokes, temos:
Simplificando
, fica:
Ebano! Essa é exatamente a fórmula do Teorema de Green.
Resposta
Assim, mostramos que o Teorema de Green é um caso especial do Teorema de Stokes quando a superfície considerada está no plano
.