Encontre o domínio e a imagem e esboce o gráfico das funções abaixo:
f(x)=lx+2, se x<0 ; 1-x, se x <= 0

Passo 1

O enunciado dá a função por partes \r
f(x)=x+2,&x<0,1-x,&x<=0, \r
e pede domínio, imagem e esboço do gráfico. Vamos usar a definição de função por partes para identificar em que valores de x cada ramo vale e depois determinar os valores possíveis de f(x).

Passo 2

Para saber o domínio, verificamos onde cada condição é satisfeita na ordem em que as partes aparecem: \r
  • O primeiro ramo vale sempre que x<0. \r
  • O segundo ramo só é avaliado se x não satisfaz a condição anterior, ou seja, sobra apenas x>=0, mas ele exige ainda x<=0. Logo, o segundo ramo aplica-se somente em x=0. \r
    Assim o domínio é \r
xmid x<0cup0=(-infty,0]

Passo 3

Agora a imagem (conjunto de valores que f atinge). \r
  1. Para x<0, f(x)=x+2. Quando xto-infty, x+2to-infty; e em xto0^-, x+2to2, mas x=0 não está incluído, então esse ramo gera o intervalo (-infty,2). \r
  2. Em x=0, o segundo ramo dá f(0)=1-0=1. Esse valor já está em (-infty,2). \r
    Portanto a imagem é \r
    (-infty,2)

Passo 4

Esboço do gráfico: \r
  • Trace a reta y=x+2 para todo x<0. Em x=0 essa reta atinge y=2, mas como 0 não está incluído há um círculo aberto em (0,2). \r
  • Marque o ponto fechado (0,1) correspondente a f(0)=1. \r
    Para x>0 não há definição, então nada mais se desenha.

Resposta

Domínio: (-infty,0] \r
Imagem: (-infty,2) \r
Gráfico: reta y=x+2 para x<0 com círculo aberto em (0,2) e ponto fechado em (0,1).

Exercícios relacionados