Encontre o domínio, a imagem e esboce o gráfico de:
k(x)=\ln (-3 x)+1.

Passo 1

O enunciado pede três coisas para a função k: encontrar o domínio, encontrar a imagem e esboçar o gráfico de
k(x)=\ln(-3x)+1.
Informações dadas e o que devo responder:
  • A expressão é uma função composta envolvendo \ln(\cdot).
  • Perguntas: (1) domínio de k; (2) imagem de k; (3) esboço/descrição do gráfico de k.

Passo 2

Entender a condição de existência do logaritmo (domínio).
  • A função logarítmica natural \ln(t) está definida apenas para t>0.
  • Aqui o argumento do logaritmo é -3x. Portanto a condição para k(x) existir é
-3x>0.
  • Resolver a desigualdade:
-3x>0 \quad\Longrightarrow\quad x<0.
Conclusão: todos os x menores que zero são permitidos; x=0 não está no domínio e nem x>0.

Passo 3

Escrever o domínio de forma padronizada.
  • Pelo passo anterior, o domínio é o intervalo aberto à esquerda:
\text{Dom}(k)=(-\infty,0).

Passo 4

Simplificar a expressão para entender transformações (isso ajuda muito no esboço).
  • Quando x<0 temos -3x>0, portanto podemos usar a propriedade do logaritmo \ln(ab)=\ln a+\ln b para números positivos:
\ln(-3x)=\ln(3)+\ln(-x).
  • Assim
k(x)=\ln(-x)+\ln(3)+1.
Interpretação: k é a função \ln(-x) (que é a reflexão de \ln x em relação ao eixo y, definida apenas para x<0) deslocada verticalmente para cima por \ln(3)+1.

Passo 5

Encontrar a imagem (contraparte do domínio).
  • A função \ln(t) com t>0 assume todos os valores reais: \ln((0,\infty))=\mathbb{R}.
  • No nosso caso t=-3x percorre (0,\infty) quando x\in(-\infty,0). Portanto \ln(-3x) pode ser qualquer número real.
  • Somar 1 (ou somar \ln(3)+1 à \ln(-x)) desloca verticalmente, mas não restringe os valores: continua sendo todo \mathbb{R}.
    Conclusão:
\text{Im}(k)=(-\infty,\infty)=\mathbb{R}.

Passo 6

Analisar comportamento assintótico e monotonicidade (útil para esboçar).
  • Limites nas extremidades do domínio:
\lim_{x\to 0^-}k(x)=\lim_{x\to 0^-}\ln(-3x)+1=-\infty,
porque -3x\to 0^+ e \ln tende a -\infty.
\lim_{x\to -\infty}k(x)=\lim_{x\to -\infty}\ln(-3x)+1=+\infty,
porque -3x\to +\infty e \ln vai para +\infty.
  • Assim há uma assíntota vertical em x=0.
  • Derivada para ver monotonicidade: aplicar regra da cadeia:
k'(x)=\frac{d}{dx}\ln(-3x)=\frac{1}{-3x}\cdot(-3)=\frac{1}{x}.
Para x<0 temos k'(x)=\dfrac{1}{x}<0, logo k é estritamente decrescente em todo o domínio (-\infty,0).
  • Interseções e pontos úteis:
    • Não há intercepto em x=0 porque 0 não pertence ao domínio.
    • Interseção com o eixo x (resolver k(x)=0):
    \ln(-3x)+1=0 \quad\Longrightarrow\quad \ln(-3x)=-1 \quad\Longrightarrow\quad -3x=e^{-1},
x=-\frac{e^{-1}}{3}=-\frac{1}{3e}.
Portanto a curva corta o eixo x em x=-\dfrac{1}{3e}.
  • Um ponto fácil: x=-1 pertence ao domínio e
k(-1)=\ln(-3\cdot(-1))+1=\ln 3+1.

Passo 7

Como esboçar o gráfico (passo a passo prático que você pode desenhar na prova).
  • Desenhe o eixo y (linha vertical x=0) e marque que é assíntota vertical; a curva nunca toca x=0.
  • Para x<0 desenhe uma curva que:
    • Vem de +\infty quando x\to -\infty,
    • É estritamente decrescente conforme x aumenta até 0,
    • Cai para -\infty quando x\to 0^-.
  • Marque o ponto de interseção com o eixo x em x=-\dfrac{1}{3e} e o ponto (-1,\ln 3+1) para orientar a forma.
  • Pense mentalmente em começar com y=\ln x no lado positivo, refletir em relação ao eixo y para obter \ln(-x) e então subir toda a curva por \ln 3+1.

Resposta

Domínio: (- \infty,0)
Imagem: (-\infty,\infty)
Esboço: curva logarítmica definida só para x<0, com assíntota vertical em x=0, estritamente decrescente, passa por \bigl(-\tfrac{1}{3e},0\bigr) e por \bigl(-1,\ln 3+1\bigr), tende a +\infty quando x\to -\infty e a -\infty quando x\to 0^-.

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