Encontre o domínio, a imagem e esboce o gráfico de:
.
Passo 1
O enunciado pede três coisas para a função
: encontrar o domínio, encontrar a imagem e esboçar o gráfico de
Informações dadas e o que devo responder:
- A expressão é uma função composta envolvendo
. - Perguntas: (1) domínio de
; (2) imagem de ; (3) esboço/descrição do gráfico de .
Passo 2
Entender a condição de existência do logaritmo (domínio).
- A função logarítmica natural
está definida apenas para . - Aqui o argumento do logaritmo é
. Portanto a condição para existir é
- Resolver a desigualdade:
Conclusão: todos os
menores que zero são permitidos;
não está no domínio e nem
.
Passo 3
Escrever o domínio de forma padronizada.
- Pelo passo anterior, o domínio é o intervalo aberto à esquerda:
Passo 4
Simplificar a expressão para entender transformações (isso ajuda muito no esboço).
- Quando
temos , portanto podemos usar a propriedade do logaritmo para números positivos:
- Assim
Interpretação:
é a função
(que é a reflexão de
em relação ao eixo
, definida apenas para
) deslocada verticalmente para cima por
.
Passo 5
Encontrar a imagem (contraparte do domínio).
- A função
com assume todos os valores reais: . - No nosso caso
percorre quando . Portanto pode ser qualquer número real. - Somar
(ou somar à ) desloca verticalmente, mas não restringe os valores: continua sendo todo .
Conclusão:
Passo 6
Analisar comportamento assintótico e monotonicidade (útil para esboçar).
- Limites nas extremidades do domínio:
porque
e
tende a
.
porque
e
vai para
.
- Assim há uma assíntota vertical em
. - Derivada para ver monotonicidade: aplicar regra da cadeia:
Para
temos
, logo
é estritamente decrescente em todo o domínio
.
- Interseções e pontos úteis:
- Não há intercepto em
porque não pertence ao domínio. - Interseção com o eixo
(resolver ):
- Não há intercepto em
Portanto a curva corta o eixo
em
.
- Um ponto fácil:
pertence ao domínio e
Passo 7
Como esboçar o gráfico (passo a passo prático que você pode desenhar na prova).
- Desenhe o eixo
(linha vertical ) e marque que é assíntota vertical; a curva nunca toca . - Para
desenhe uma curva que: - Vem de
quando , - É estritamente decrescente conforme
aumenta até , - Cai para
quando .
- Vem de
- Marque o ponto de interseção com o eixo
em e o ponto para orientar a forma. - Pense mentalmente em começar com
no lado positivo, refletir em relação ao eixo para obter e então subir toda a curva por .
Resposta
Domínio:
Imagem:
Esboço: curva logarítmica definida só para , com assíntota vertical em
, estritamente decrescente, passa por
e por
, tende a
quando
e a
quando
.
Imagem:
Esboço: curva logarítmica definida só para