Verifique se as seguintes funções são pares ou ímpares e, caso sejam, explique o tipo de simetria que ocorre no gráfico.
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede:
- Verificar se
é par ou ímpar. - Explicar, caso haja, qual a simetria que ocorre no gráfico de
.
Informações relevantes extraídas da função:
- A expressão é
. - O domínio natural da função é todos os reais exceto
, ou seja .
Passo 2
Definições e o que cada tipo de simetria significa (aula rapidinha):
- Uma função
é par se, para todo do domínio, valer
Geometricamente, isso significa que o gráfico de
é simétrico em relação ao eixo
(reflexão vertical).
- Uma função
é ímpar se, para todo do domínio, valer
Geometricamente, isso significa que o gráfico tem simetria central em relação à origem, ou seja, uma rotação de
em torno da origem leva o gráfico em si (pontos opostos).
- Observação importante: para uma função ser par ou ímpar, o domínio deve ser simétrico em torno de
: se pertence ao domínio, então também deve pertencer. Se o domínio não for simétrico, a função não pode ser par nem ímpar.
Passo 3
Vamos calcular
passo a passo para comparar com
e com
.
Começando:
Simplificando o denominador (reordenando):
Podemos também escrever multiplicando numerador e denominador por
:
Passo 4
Comparemos agora com
e com
.
- Lembrando
. - Também
.
Pergunta 1: será que
para todo
? Igualando as expressões:
Isso só pode acontecer, para
, se
, o que é impossível. Para
ambas valem
, mas paridade exige igualdade para TODO
do domínio. Logo
não é par.
Pergunta 2: será que
para todo
? Igualando:
Novamente, para
isso exigiria
, ou
que dá
. Só em
ocorre; mas precisa valer para todo
. Portanto
não é ímpar.
Além disso, nota crucial: o domínio de
é
. Esse domínio não é simétrico em torno de
porque
domínio enquanto
domínio. Como observado no passo 2, sem domínio simétrico não pode haver paridade global. Isso confirma que
não é par nem ímpar.
Passo 5
Apesar de não ser par nem ímpar, é útil entender qual simetria a curva tem — há uma simetria central, porém não em relação à origem. Reescrevemos
para ver isso:
Defina
. Vamos estudar a simetria em torno do ponto
. Faça a mudança
e
(ou seja, pontos a distâncias opostas em relação a
):
Calcule
:
Calcule
:
Somando:
Isso mostra que os dois pontos simétricos em relação a
têm alturas que somam
, isto é, suas ordenadas estão simetricamente distribuídas em torno de
. Em termos geométricos, o gráfico é invariante por rotação de
em torno do ponto
: para cada ponto
existe o ponto simétrico
que também pertence ao gráfico.
Passo 6
Interpretação final e comparação de simetrias (resumo didático):
- Paridade (par): simetria em relação ao eixo
— aqui não ocorre. - Imparidade (ímpar): simetria central em relação à origem — aqui não ocorre.
- O que ocorre para
é simetria central em torno do ponto , ou seja, uma rotação de centrada em . É uma simetria “central” porém deslocada (não é a simetria ímpar padrão, que exigiria o centro na origem).
Força aí — você já pode explicar na prova: mostre
, mostre que não coincide com
nem com
, mencione o domínio não simétrico, e em seguida mostre a reescrita
para apontar a simetria central em
.
Resposta
Nem par nem ímpar.
O gráfico possui simetria central (rotação de ) em torno do ponto
.
O gráfico possui simetria central (rotação de