Verifique se as seguintes funções são pares ou ímpares e, caso sejam, explique o tipo de simetria que ocorre no gráfico.
f(x)=\frac{x}{x+1}.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\dfrac{x}{x+1} e pede:
  • Verificar se f é par ou ímpar.
  • Explicar, caso haja, qual a simetria que ocorre no gráfico de f.
Informações relevantes extraídas da função:
  • A expressão é f(x)=\dfrac{x}{x+1}.
  • O domínio natural da função é todos os reais exceto x=-1, ou seja \mathbb{R}\setminus\{-1\}.

Passo 2

Definições e o que cada tipo de simetria significa (aula rapidinha):
  • Uma função f é par se, para todo x do domínio, valer
f(-x)=f(x).
Geometricamente, isso significa que o gráfico de f é simétrico em relação ao eixo y (reflexão vertical).
  • Uma função f é ímpar se, para todo x do domínio, valer
f(-x)=-f(x).
Geometricamente, isso significa que o gráfico tem simetria central em relação à origem, ou seja, uma rotação de 180^\circ em torno da origem leva o gráfico em si (pontos opostos).
  • Observação importante: para uma função ser par ou ímpar, o domínio deve ser simétrico em torno de 0: se x pertence ao domínio, então -x também deve pertencer. Se o domínio não for simétrico, a função não pode ser par nem ímpar.

Passo 3

Vamos calcular f(-x) passo a passo para comparar com f(x) e com -f(x).
Começando:
f(-x)=\frac{-x}{-x+1}.
Simplificando o denominador (reordenando):
f(-x)=\frac{-x}{1-x}.
Podemos também escrever multiplicando numerador e denominador por -1:
f(-x)=\frac{x}{x-1}.

Passo 4

Comparemos agora com f(x) e com -f(x).
  • Lembrando f(x)=\dfrac{x}{x+1}.
  • Também -f(x)=-\dfrac{x}{x+1}.
Pergunta 1: será que f(-x)=f(x) para todo x? Igualando as expressões:
\frac{x}{x-1} \stackrel{?}{=} \frac{x}{x+1}.
Isso só pode acontecer, para x\neq0, se x-1=x+1, o que é impossível. Para x=0 ambas valem 0, mas paridade exige igualdade para TODO x do domínio. Logo f não é par.
Pergunta 2: será que f(-x)=-f(x) para todo x? Igualando:
\frac{x}{x-1} \stackrel{?}{=} -\frac{x}{x+1}.
Novamente, para x\neq0 isso exigiria x+1=-(x-1), ou x+1=-x+1 que dá x=0. Só em x=0 ocorre; mas precisa valer para todo x. Portanto f não é ímpar.
Além disso, nota crucial: o domínio de f é \mathbb{R}\setminus\{-1\}. Esse domínio não é simétrico em torno de 0 porque -1\notin domínio enquanto 1\in domínio. Como observado no passo 2, sem domínio simétrico não pode haver paridade global. Isso confirma que f não é par nem ímpar.

Passo 5

Apesar de não ser par nem ímpar, é útil entender qual simetria a curva tem — há uma simetria central, porém não em relação à origem. Reescrevemos f para ver isso:
f(x)=\frac{x}{x+1}=\frac{x+1-1}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}.
Defina g(x)=1-\dfrac{1}{x+1}. Vamos estudar a simetria em torno do ponto \big(-1,1\big). Faça a mudança x=-1+t e x=-1-t (ou seja, pontos a distâncias opostas em relação a -1):
Calcule f(-1+t):
f(-1+t)=1-\frac{1}{(-1+t)+1}=1-\frac{1}{t}=1-\frac{1}{t}.
Calcule f(-1-t):
f(-1-t)=1-\frac{1}{(-1-t)+1}=1-\frac{1}{-t}=1+\frac{1}{t}.
Somando:
f(-1+t)+f(-1-t)=\left(1-\frac{1}{t}\right)+\left(1+\frac{1}{t}\right)=2.
Isso mostra que os dois pontos simétricos em relação a x=-1 têm alturas que somam 2, isto é, suas ordenadas estão simetricamente distribuídas em torno de y=1. Em termos geométricos, o gráfico é invariante por rotação de 180^\circ em torno do ponto \big(-1,1\big): para cada ponto (x,f(x)) existe o ponto simétrico (2\cdot(-1)-x,\;2\cdot 1 - f(x))=(-2-x,\;2-f(x)) que também pertence ao gráfico.

Passo 6

Interpretação final e comparação de simetrias (resumo didático):
  • Paridade (par): simetria em relação ao eixo y — aqui não ocorre.
  • Imparidade (ímpar): simetria central em relação à origem — aqui não ocorre.
  • O que ocorre para f(x)=\dfrac{x}{x+1} é simetria central em torno do ponto \big(-1,1\big), ou seja, uma rotação de 180^\circ centrada em \big(-1,1\big). É uma simetria “central” porém deslocada (não é a simetria ímpar padrão, que exigiria o centro na origem).
Força aí — você já pode explicar na prova: mostre f(-x), mostre que não coincide com f(x) nem com -f(x), mencione o domínio não simétrico, e em seguida mostre a reescrita f(x)=1-\dfrac{1}{x+1} para apontar a simetria central em (-1,1).

Resposta

Nem par nem ímpar.
O gráfico possui simetria central (rotação de 180^\circ) em torno do ponto \big(-1,1\big).

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