Verifique se as seguintes funções são pares ou ímpares e, caso sejam, explique o tipo de simetria que ocorre no gráfico.
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- Verificar se a função é par ou ímpar (ou nenhuma das duas).
- Explicar, caso seja par ou ímpar, que tipo de simetria isso implica no gráfico.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A expressão da função é
. - O denominador
nunca é zero para , portanto o domínio é todo o conjunto dos números reais .
Passo 2
Definições importantes (explicadas de forma clara e prática):
- Uma função
é par se, para todo do domínio, valer
Geométrica e intuitivamente: funções pares têm simetria em relação ao eixo
. Isso significa que, se
está no gráfico, então
também está.
- Uma função
é ímpar se, para todo do domínio, valer
Geométrica e intuitivamente: funções ímpares têm simetria central em relação à origem (ou rotação de
em torno da origem). Isso significa que, se
está no gráfico, então
também está.
Dica prática para a prova: o método padrão é calcular
e comparar com
e com
. Também verificar antes se o domínio é simétrico em relação a zero (ou seja, se
no domínio implica
também); se não for simétrico, a função não pode ser par nem ímpar.
Passo 3
Vamos calcular explicitamente
. Substituir
por
na fórmula:
Explico cada passo:
- Ao substituir, o numerador fica
. - No denominador,
porque o quadrado de é igual ao quadrado de .
Portanto
Passo 4
Compare
com
. Primeiro escrevo
:
Observe que a expressão obtida para
é exatamente a mesma de
:
Isso vale para todo
(lembre: o domínio é todo
).
Passo 5
Interpretação do resultado:
- Como para todo
vale , pela definição a função é ímpar. - Geometricamente isso significa simetria central em relação à origem: se o ponto
pertence ao gráfico de , então o ponto também pertence ao gráfico.
Exemplos numéricos para fixar a ideia: -
. Como , o gráfico passa pela origem. -
e . Os pontos e são correspondentes pela simetria central. -
e , mesma ideia.
Observação útil para a prova: muitas vezes funções formadas por um numerador ímpar (ex.:
,
, …) e um denominador par (ex.:
,
, …) resultam em função ímpar, desde que o domínio seja simétrico e o denominador não anule. Aqui o numerador
é ímpar e o denominador
é par, então o quociente é ímpar.
Resposta
A função é ímpar.
Simetria: simetria central em relação à origem (rotação de ); se
está no gráfico então
também.
Simetria: simetria central em relação à origem (rotação de