Verifique se as seguintes funções são pares ou ímpares e, caso sejam, explique o tipo de simetria que ocorre no gráfico.
f(x)=\frac{x}{x^{2}+1}.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\dfrac{x}{x^{2}+1} e pede duas coisas:
  • Verificar se a função é par ou ímpar (ou nenhuma das duas).
  • Explicar, caso seja par ou ímpar, que tipo de simetria isso implica no gráfico.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão da função é f(x)=\dfrac{x}{x^{2}+1}.
  • O denominador x^{2}+1 nunca é zero para x\in\mathbb{R}, portanto o domínio é todo o conjunto dos números reais \mathbb{R}.

Passo 2

Definições importantes (explicadas de forma clara e prática):
  • Uma função f é par se, para todo x do domínio, valer
f(-x)=f(x).
Geométrica e intuitivamente: funções pares têm simetria em relação ao eixo y. Isso significa que, se (a,b) está no gráfico, então (-a,b) também está.
  • Uma função f é ímpar se, para todo x do domínio, valer
f(-x)=-f(x).
Geométrica e intuitivamente: funções ímpares têm simetria central em relação à origem (ou rotação de 180^\circ em torno da origem). Isso significa que, se (a,b) está no gráfico, então (-a,-b) também está.
Dica prática para a prova: o método padrão é calcular f(-x) e comparar com f(x) e com -f(x). Também verificar antes se o domínio é simétrico em relação a zero (ou seja, se x no domínio implica -x também); se não for simétrico, a função não pode ser par nem ímpar.

Passo 3

Vamos calcular explicitamente f(-x). Substituir x por -x na fórmula:
f(-x)=\frac{-x}{(-x)^{2}+1}.
Explico cada passo:
  • Ao substituir, o numerador fica -x.
  • No denominador, (-x)^{2}=x^{2} porque o quadrado de -x é igual ao quadrado de x.
    Portanto
f(-x)=\frac{-x}{x^{2}+1}.

Passo 4

Compare f(-x) com -f(x). Primeiro escrevo -f(x):
-f(x)=-\left(\frac{x}{x^{2}+1}\right)=\frac{-x}{x^{2}+1}.
Observe que a expressão obtida para f(-x) é exatamente a mesma de -f(x):
f(-x)=\frac{-x}{x^{2}+1}=-f(x).
Isso vale para todo x\in\mathbb{R} (lembre: o domínio é todo \mathbb{R}).

Passo 5

Interpretação do resultado:
  • Como para todo x vale f(-x)=-f(x), pela definição a função é ímpar.
  • Geometricamente isso significa simetria central em relação à origem: se o ponto (a,b) pertence ao gráfico de f, então o ponto (-a,-b) também pertence ao gráfico.
    Exemplos numéricos para fixar a ideia:
  • f(0)=\dfrac{0}{0^{2}+1}=0. Como f(0)=0, o gráfico passa pela origem.
  • f(1)=\dfrac{1}{1^{2}+1}=\dfrac{1}{2} e f(-1)=\dfrac{-1}{(-1)^{2}+1}=-\dfrac{1}{2}. Os pontos (1,\tfrac{1}{2}) e (-1,-\tfrac{1}{2}) são correspondentes pela simetria central.
  • f(2)=\dfrac{2}{5} e f(-2)=-\dfrac{2}{5}, mesma ideia.
Observação útil para a prova: muitas vezes funções formadas por um numerador ímpar (ex.: x, x^{3}, …) e um denominador par (ex.: x^{2}+1, x^{4}+2, …) resultam em função ímpar, desde que o domínio seja simétrico e o denominador não anule. Aqui o numerador x é ímpar e o denominador x^{2}+1 é par, então o quociente é ímpar.

Resposta

A função é ímpar.
Simetria: simetria central em relação à origem (rotação de 180^\circ); se (x,y) está no gráfico então (-x,-y) também.

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