Encontre o dominio e a imagem das funções.
f(x, y, z)=x sen(y+z)

Passo 1

Vamos lá! O exercício que temos é encontrar o domínio e a imagem da função f(x, y, z) = x cdot sin(y + z) . Isso envolve entender de onde os valores de x , y e z podem vir (domínio) e para onde os resultados da função podem ir (imagem). Para resolver isso, precisamos conhecer um pouco sobre funções trigonométricas e operações com variáveis reais.

Passo 2

Encontrando o domínio:
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada (neste caso, x , y e z ) para os quais a função está definida. Vamos analisar cada parte da função f(x, y, z) = x cdot sin(y + z) :
  1. O que é x : x é uma variável real, ou seja, pode assumir qualquer valor real.
  2. O que é sin(y + z) : A função seno está definida para todos os números reais. O argumento y + z é apenas uma soma de duas variáveis reais, que também resulta em um número real.
Como não há restrições para x , y ou z , o domínio é todo o espaço tridimensional onde x , y e z são números reais.
Matematicamente:
Domínio = R^3 = (x, y, z) | x, y, z in R í

Passo 3

Encontrando a imagem:
A imagem de uma função é o conjunto de todos os possíveis valores de saída que a função pode produzir. Vamos analisar f(x, y, z) = x cdot sin(y + z) :
  1. Valor de sin(y + z) : A função seno sempre retorna valores entre -1 e 1, ou seja, -1 <= sin(y + z) <= 1 .
  2. Multiplicando por x : Como x pode ser qualquer número real, ao multiplicar x por um valor entre -1 e 1, o resultado f(x, y, z) pode ser qualquer número real. Por exemplo:
    • Se x = 2 e sin(y + z) = 1 , então f = 2 times 1 = 2 .
    • Se x = -3 e sin(y + z) = -1 , então f = -3 times (-1) = 3 .
    • Se x = 0 , independente de sin(y + z) , f = 0 .
Como x não tem limites e pode amplificar ou reduzir o valor de sin(y + z) , a função pode alcançar qualquer número real.
Matematicamente:
Ima>=m = R = f(x, y, z) | f(x, y, z) in R

Resposta

Domínio: Todo o espaço tridimensional R^3 .
Imagem: Todos os números reais R .

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