Encontre o dominio e a imagem das funções.
Passo 1
Vamos lá! O exercício que temos é encontrar o domínio e a imagem da função
. Isso envolve entender de onde os valores de
,
e
podem vir (domínio) e para onde os resultados da função podem ir (imagem). Para resolver isso, precisamos conhecer um pouco sobre funções trigonométricas e operações com variáveis reais.
Passo 2
Encontrando o domínio:
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada (neste caso,
,
e
) para os quais a função está definida. Vamos analisar cada parte da função
:
-
O que é
: é uma variável real, ou seja, pode assumir qualquer valor real. -
O que é
: A função seno está definida para todos os números reais. O argumento é apenas uma soma de duas variáveis reais, que também resulta em um número real.
Como não há restrições para
,
ou
, o domínio é todo o espaço tridimensional onde
,
e
são números reais.
Matematicamente:
Passo 3
Encontrando a imagem:
A imagem de uma função é o conjunto de todos os possíveis valores de saída que a função pode produzir. Vamos analisar
:
-
Valor de
: A função seno sempre retorna valores entre -1 e 1, ou seja, . -
Multiplicando por
: Como pode ser qualquer número real, ao multiplicar por um valor entre -1 e 1, o resultado pode ser qualquer número real. Por exemplo: - Se
e , então . - Se
e , então . - Se
, independente de , .
- Se
Como
não tem limites e pode amplificar ou reduzir o valor de
, a função pode alcançar qualquer número real.
Matematicamente:
Resposta
Domínio: Todo o espaço tridimensional
.
Imagem: Todos os números reais
.