Encontre o domínio e a imagem para as seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o domínio e a imagem da função
Para isso precisamos (a) garantir que a expressão dentro da raiz seja não-negativa e que o denominador não zere, e (b) estudar o valor mínimo e os comportamentos limites de
para obter a imagem.
Passo 2
Impondo as restrições de domínio:
. O denominador não pode ser zero, logo
Passo 3
Para resolver
note que
. Os pontos críticos são
,
e
. Fazendo a análise de sinal em cada intervalo:
- Para
, o numerador é positivo e o denominador negativo razão negativa. - Para
, numerador é positivo e denominador positivo razão positiva. - Para
, numerador negativo razão negativa. - Para
, numerador e denominador positivos razão positiva.
Nos pontose o numerador zera e a razão vale zero, admitido pela desigualdade.
Passo 4
Concluímos que o domínio de
é
Agora, para a imagem note que
. Em
e
temos
de modo que o valor mínimo de
é zero.
Em cada ramo, ao nos aproximarmos de ou
, o quociente
cresce sem limite, fazendo
. Como
é contínua em cada componente do domínio, ela atinge todos os valores de
até
.
Em cada ramo, ao nos aproximarmos de
Resposta
Domínio:
.
Imagem: .
Imagem: