Encontre o domínio e a imagem para as seguintes funções:
f(x)=raizx^2-9x+4

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o domínio e a imagem da função
f(x)=raizx^2-9x+4
Para isso precisamos (a) garantir que a expressão dentro da raiz seja não-negativa e que o denominador não zere, e (b) estudar o valor mínimo e os comportamentos limites de f(x) para obter a imagem.

Passo 2

Impondo as restrições de domínio:
1. O denominador não pode ser zero, logo
x+4neq0implies xneq -4
2. O radicando deve ser maior ou igual a zero, isto é
x^2-9x+4>=0

Passo 3

Para resolver
x^2-9x+4>=0
note que x^2-9=(x-3)(x+3). Os pontos críticos são x=-4, x=-3 e x=3. Fazendo a análise de sinal em cada intervalo:
  • Para x<-4, o numerador é positivo e o denominador negativo Rightarrow razão negativa.
  • Para -4<x<-3, numerador (x-3)(x+3) é positivo e denominador positivo Rightarrow razão positiva.
  • Para -3<x<3, numerador negativo Rightarrow razão negativa.
  • Para x>3, numerador e denominador positivos Rightarrow razão positiva.
    Nos pontos x=-3 e x=3 o numerador zera e a razão vale zero, admitido pela desigualdade.

Passo 4

Concluímos que o domínio de f é
(-4,-3];cup;[3,infty)
Agora, para a imagem note que f(x)>=0. Em x=-3 e x=3 temos
f(-3)=raiz0=0, f(3)=raiz0=0,
de modo que o valor mínimo de f é zero.
Em cada ramo, ao nos aproximarmos de xto-4^+ ou xto+infty, o quociente x^2-9x+4 cresce sem limite, fazendo f(x)to+infty. Como f é contínua em cada componente do domínio, ela atinge todos os valores de 0 até +infty.

Resposta

Domínio: ;(-4,-3]cup[3,infty).
Imagem: ;[0,infty).

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