Exercício 5. (Apostol, capítulo 8.3, exercícios 2 e 4)
a) Mostre que se lim (x, y) (a, b) f(x, y)=L e se os limites lim x a f(x, y) e lim y b f(x, y) existem, então
lim x a(lim y b f(x, y))=lim y b(lim x a f(x, y))=L
b) Seja f(x, y)=x^2 y^2x^2 y^2+(x-y)^2. Mostre que lim x 0(lim y 0 f(x, y))=lim y 0(lim x 0 f(x, y))=0, mas que não existe lim (x, y) (0,0) f(x, y).

Passo 1

O enunciado trata de limites de funções de duas variáveis. No item (a) temos a hipótese de que
lim(x,y)to(a,b)f(x,y)=L
e que os limites iterados limyto bf(x,y) e limxto af(x,y) existem. Precisamos mostrar que cada uma dessas funções “internas” tem limite L quando a outra variável se aproxima de seu valor-alvo.
No item (b) a função é
f(x,y)=x^2y^2x^2y^2+(x-y)^2,
e queremos calcular os limites iterados limyto0f(x,y), limxto0f(x,y) e depois mostrar que o limite conjunto lim(x,y)to(0,0)f(x,y) não existe.

Passo 2

Definamos
g(x)=limyto bf(x,y),
que existe por hipótese. Seja um dado varepsilon>0. Da definição de lim(x,y)to(a,b)f(x,y)=L existe de<a>0 tal que
raiz(x-a)^2+(y-b)^2<de<a Longrightarrow |f(x,y)-L|<varepsilon
Em particular, se |x-a|<de<a então, para todo y com |y-b|<de<a, vale |f(x,y)-L|<varepsilon. Fazendo yto b obtemos
|g(x)-L|<=varepsilon sempre que|x-a|<de<a,
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limxto ag(x)=L

Passo 3

De modo análogo, definindo
h(y)=limxto af(x,y),
repete-se o argumento de varepsilon de<a trocando os papéis de x e y. Concluímos que
limyto bh(y)=L
Assim provamos
limxto al(limyto bf(x,y)r) = limyto bl(limxto af(x,y)r) = L

Passo 4

Agora parte (b). Para x fixo, xneq0, consideremos
limyto0f(x,y) =limyto0x^2y^2x^2y^2+(x-y)^2
Quando yto0, o numerador to0 e o denominador to x^2neq0. Logo
limyto0f(x,y)=0
Em seguida
limxto0l(limyto0f(x,y)r) =limxto00=0

Passo 5

De modo igual, para y fixo, yneq0, temos
limxto0f(x,y) =limxto0x^2y^2x^2y^2+(x-y)^2 =0,
pois o numerador to0 e o denominador to y^2neq0. Então
limyto0l(limxto0f(x,y)r) =limyto00=0

Passo 6

Para ver que lim(x,y)to(0,0)f(x,y) não existe, basta escolher duas curvas de aproximação com limites diferentes. Por exemplo, na reta y=x temos
f(x,x) =x^4x^4+(x-x)^2 =x^4x^4+0 =1,
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limxto0f(x,x)=1.
Mas ao longo de y=0 (ou x=0) a função vale 0. Como há duas trajetórias com limites distintos, o limite conjunto não existe.

Resposta

a)
limxto al(limyto bf(x,y)r) = limyto bl(limxto af(x,y)r) = L
b)
limxto0l(limyto0f(x,y)r) = limyto0l(limxto0f(x,y)r) =0,
porém lim(x,y)to(0,0)f(x,y) não existe.

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