Exercício 5. (Apostol, capítulo 8.3, exercícios 2 e 4)
a) Mostre que se
e se os
e
existem, então
b) Seja
. Mostre que
, mas que não existe
.
a) Mostre que se
Passo 1
O enunciado trata de limites de funções de duas variáveis. No item (a) temos a hipótese de que
e que os limites iterados
e
existem. Precisamos mostrar que cada uma dessas funções “internas” tem limite
quando a outra variável se aproxima de seu valor-alvo.
No item (b) a função é
No item (b) a função é
e queremos calcular os limites iterados
,
e depois mostrar que o limite conjunto
não existe.
Passo 2
Definamos
que existe por hipótese. Seja um dado
. Da definição de
existe
tal que
Em particular, se
então, para todo
com
, vale
. Fazendo
obtemos
logo
Passo 3
De modo análogo, definindo
repete-se o argumento de
–
trocando os papéis de
e
. Concluímos que
Assim provamos
Passo 4
Agora parte (b). Para
fixo,
, consideremos
Quando
, o numerador
e o denominador
. Logo
Em seguida
Passo 5
De modo igual, para
fixo,
, temos
pois o numerador
e o denominador
. Então
Passo 6
Para ver que
não existe, basta escolher duas curvas de aproximação com limites diferentes. Por exemplo, na reta
temos
logo
.
Mas ao longo de (ou
) a função vale
. Como há duas trajetórias com limites distintos, o limite conjunto não existe.
Mas ao longo de
Resposta
a)
b)
porém
não existe.