Encontre o domínio (o maior possível) e a imagem, o conjunto de zeros, os intervalos de positividade e negatividade, e esboçe o gráfico:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o domínio, a imagem, os zeros, os intervalos onde a função é positiva ou negativa e fazer um esboço do gráfico da função
. Vamos usar conceitos de funções lineares, que são aquelas que têm a forma
. Precisamos entender o que cada parte dessa função representa para resolver tudo passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
que a função pode receber. Como a nossa função é uma linha reta e não tem nenhum denominador que possa ser zero nem radiciação que exija restrições, o domínio é todos os números reais. Ou seja:
Passo 3
Agora, vamos achar a imagem da função, que é o conjunto de todos os valores que
pode assumir. Para funções lineares como
, a linha continua para o infinito em ambas as direções, então a imagem também é todos os números reais:
Passo 4
Vamos encontrar os zeros da função, que são os valores de
onde
. Resolvendo a equação:
Então, o zero da função é:
Passo 5
Agora, vamos determinar os intervalos de positividade e negatividade da função. Queremos saber onde
é maior que zero e onde é menor que zero.
Para
:
Então,
é positiva quando
.
Para
:
Então,
é negativa quando
.
Passo 6
Por fim, vamos esboçar o gráfico da função
. Como é uma função linear:
- A inclinação (
) é -1, o que significa que a linha desce da esquerda para a direita. - O intercepto em
( ) é 4, então a linha cruza o eixo no ponto (0, 4). - Sabemos que a linha cruza o eixo
em (4, 0), que é o zero da função.
Então, o gráfico é uma linha reta que passa por (0,4) e (4,0) com inclinação negativa.
Resposta
- Domínio:
- Imagem:
- Zero da função:
- Intervalos:
- Positiva:
- Negativa:
- Positiva:
- Gráfico: Linha reta decrescente que passa pelos pontos (0,4) e (4,0).