Encontre o domínio (o maior possível) e a imagem, o conjunto de zeros, os intervalos de positividade e negatividade, e esboçe o gráfico: f(x) = -x + 4

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o domínio, a imagem, os zeros, os intervalos onde a função é positiva ou negativa e fazer um esboço do gráfico da função . Vamos usar conceitos de funções lineares, que são aquelas que têm a forma . Precisamos entender o que cada parte dessa função representa para resolver tudo passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de que a função pode receber. Como a nossa função é uma linha reta e não tem nenhum denominador que possa ser zero nem radiciação que exija restrições, o domínio é todos os números reais. Ou seja:
í

Passo 3

Agora, vamos achar a imagem da função, que é o conjunto de todos os valores que pode assumir. Para funções lineares como , a linha continua para o infinito em ambas as direções, então a imagem também é todos os números reais:

Passo 4

Vamos encontrar os zeros da função, que são os valores de onde . Resolvendo a equação:
Então, o zero da função é:

Passo 5

Agora, vamos determinar os intervalos de positividade e negatividade da função. Queremos saber onde é maior que zero e onde é menor que zero.
Para :
Então, é positiva quando .
Para :
Então, é negativa quando .

Passo 6

Por fim, vamos esboçar o gráfico da função . Como é uma função linear:
  • A inclinação ( ) é -1, o que significa que a linha desce da esquerda para a direita.
  • O intercepto em ( ) é 4, então a linha cruza o eixo no ponto (0, 4).
  • Sabemos que a linha cruza o eixo em (4, 0), que é o zero da função.
Então, o gráfico é uma linha reta que passa por (0,4) e (4,0) com inclinação negativa.

Resposta

  • Domínio:
  • Imagem:
  • Zero da função:
  • Intervalos:
    • Positiva:
    • Negativa:
  • Gráfico: Linha reta decrescente que passa pelos pontos (0,4) e (4,0).

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