Encontre o domínio máximo das funções
abaixo e esboce tais regiões no plano
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o domínio máximo da função
. O domínio é basicamente o conjunto de todos os pares
que fazem a função dar certo, ou seja, que não resultam em números imaginários ou operações inválidas. Para isso, vamos precisar entender de funções de duas variáveis e condições para raízes quadradas. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a raiz quadrada só é válida se o que está dentro dela for maior ou igual a zero. Então, para
ser real, precisamos que:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa desigualdade para encontrar os valores de
e
que satisfazem essa condição. Podemos rearranjar a desigualdade assim:
Passo 4
Essa inequação
representa todos os pontos
que estão dentro ou na fronteira de um círculo com raio
e centro na origem
do plano
.
Passo 5
Então, o domínio máximo da função
é o conjunto de todos os pontos dentro ou sobre esse círculo de raio 5. Em termos matemáticos, podemos escrever:
Passo 6
Para esboçar essa região no plano
, desenhamos um círculo centrado na origem com raio 5. Todos os pontos dentro desse círculo, incluindo o próprio círculo, fazem parte do domínio da função.
Resposta
O domínio máximo da função
é o conjunto de todos os pontos
no plano que satisfazem
. Graficamente, essa região é um círculo de raio 5 centrado na origem
no plano
.