Encontre o domínio máximo das funções f: D subset R^2 R abaixo e esboce tais regiões no plano R^2.
f(x, y)=raiz25-x^2-y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o domínio máximo da função f(x, y) = raiz25 - x^2 - y^2 . O domínio é basicamente o conjunto de todos os pares (x, y) que fazem a função dar certo, ou seja, que não resultam em números imaginários ou operações inválidas. Para isso, vamos precisar entender de funções de duas variáveis e condições para raízes quadradas. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a raiz quadrada só é válida se o que está dentro dela for maior ou igual a zero. Então, para raiz25 - x^2 - y^2 ser real, precisamos que:
25 - x^2 - y^2 >= 0

Passo 3

Agora, vamos resolver essa desigualdade para encontrar os valores de x e y que satisfazem essa condição. Podemos rearranjar a desigualdade assim:
x^2 + y^2 <= 25

Passo 4

Essa inequação x^2 + y^2 <= 25 representa todos os pontos (x, y) que estão dentro ou na fronteira de um círculo com raio raiz25 = 5 e centro na origem (0, 0) do plano R^2.

Passo 5

Então, o domínio máximo da função f(x, y) é o conjunto de todos os pontos dentro ou sobre esse círculo de raio 5. Em termos matemáticos, podemos escrever:
D = (x, y) in R^2 | x^2 + y^2 <= 25

Passo 6

Para esboçar essa região no plano R^2, desenhamos um círculo centrado na origem com raio 5. Todos os pontos dentro desse círculo, incluindo o próprio círculo, fazem parte do domínio da função.

Resposta

O domínio máximo da função f(x, y) = raiz25 - x^2 - y^2 é o conjunto de todos os pontos (x, y) no plano que satisfazem x^2 + y^2 <= 25 . Graficamente, essa região é um círculo de raio 5 centrado na origem (0, 0) no plano R^2.

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